Опуклі багатокутники. Визначення опуклого багатокутника. Діагоналі опуклого багатокутника

Дані геометричні фігури оточують нас всюди. Опуклі багатокутники бувають природними, наприклад, бджолині стільники або штучними (створеними людиною). Ці фігури використовуються у виробництві різних видів покриттів, у живописі, архітектурі, прикрасах і т.д. Опуклі багатокутники володіють тим властивістю, що всі їхні точки розташовуються по одну сторону від прямої, що проходить через пару сусідніх вершин цієї геометричної фігури. Існують і інші визначення. Опуклим називається той багатокутник, який розташований в єдиній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить одну з його сторін.

Опуклі багатокутники

В курсі елементарної геометрії завжди розглядаються виключно прості багатокутники. Щоб зрозуміти всі властивості таких геометричних фігур необхідно розібратися з їх природою. Для початку слід усвідомити, що замкнутої називається будь-яка лінія, кінці якої збігаються. Причому фігура, утворена нею, може мати самі різні конфігурації. Багатокутником називають просту замкнену ламану лінію, у якої сусідні ланки не розташовуються на одній прямій. Її ланки і вершини є, відповідно, сторонами і вершинами цієї геометричної фігури. Проста ламана не повинна мати самоперетинів.

Вершини багатокутника називають сусідніми, у тому випадку якщо вони представляють собою кінці однієї з його сторін. Геометрична фігура, у якої є n-е число вершин, а значить, і n-е кількість сторін, називається n-кутником. Саму ламану лінію називають кордоном або контуром цієї геометричної фігури. Багатокутної площиною або плоским многоугольником називають кінцеву частину будь-якій площині, їм обмеженою. Сусідніми сторонами цієї геометричної фігури називають відрізки ламаної лінії, що виходять з однієї вершини. Вони будуть не сусідніми, якщо виходять їх різних вершин багатокутника.

Інші визначення опуклих багатокутників

В елементарній геометрії існує ще кілька еквівалентних за своїм значенням визначень, що вказують на те, який багатокутник називається опуклим. Причому всі ці формулювання однаковою мірою вірні. Опуклим вважається той багатокутник, у якого:

• кожен відрізок, що з`єднує дві будь-які точки всередині нього, повністю лежить в ньому-

• всередині нього лежать всі його діагоналі-

• будь-який внутрішній кут не перевищує 180 °.

Багатокутник завжди розбиває площину на 2 частини. Одна з них - обмежена (вона може бути укладена в коло), а інша - необмежена. Першу називають внутрішньою областю, а другий - зовнішньою областю цієї геометричної фігури. Даний багатокутник є перетином (іншими словами - загальної складової) кількох напівплощин. При цьому кожен відрізок, що має кінці у точках, які належать многоугольнику, повністю належить йому.

Різновиди опуклих багатокутників

Визначення опуклого багатокутника не вказує на те, що їх існує безліч видів. Причому у кожного з них є певні критерії. Так, опуклі багатокутники, у яких є внутрішній кут рівний 180 °, називаються слабовипуклимі. Опукла геометрична фігура, що має три вершини, називається трикутником, чотири - чотирикутником, п`ять - п`ятикутником і т. Д. Кожен з опуклих n-кутників відповідає наступному найважливішій вимозі: n повинно дорівнювати або бути більше 3. Кожен з трикутників є опуклим. Геометрична фігура даного типу, у якої всі вершини розташовуються на одній окружності, називається вписаною в коло. Опуклий багатокутник називають описаним, якщо всі його сторони близько окружності торкаються до неї. Два багатокутника називають рівними тільки в тому випадку, коли за допомогою накладання їх можна поєднати. Плоским многоугольником називають многокутну площину (частина площині), що обмежена цією геометричною фігурою.

Правильні опуклі багатокутники

Правильними багатокутниками називають геометричні фігури з рівними кутами і сторонами. Усередині них є точка 0, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної з його вершин. Її називають центром цієї геометричної фігури. Відрізки, що з`єднують центр з вершинами цієї геометричної фігури називають апофемами, а ті, що з`єднують точку 0 зі сторонами - радіусами.

Правильний чотирикутник - квадрат. Правильний трикутник називають рівностороннім. Для таких фігур існує таке правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2) / n,

де n - число вершин цієї опуклою геометричної фігури.

Площа будь-якого правильного багатокутника визначають за формулою:

S = р * h,

де p дорівнює половині суми всіх сторін даного багатокутника, а h дорівнює довжині апофеми.

Властивості опуклих багатокутників

Опуклі багатокутники мають певні властивості. Так, відрізок, який з`єднує будь-які дві точки такої геометричної фігури, обов`язково розташовується в ній. Доказ:

Припустимо, що Р - даний опуклий багатокутник. Беремо 2 довільні точки, наприклад, А, В, які належать Р. За існуючим визначенням опуклого багатокутника ці точки розташовані в одній стороні від прямої, що містить будь-яку сторону Р. Отже, АВ також має цю властивість і міститься в Р. Опуклий багатокутник завжди можливо розбити на кілька трикутників абсолютно всіма діагоналями, які проведені з однієї його вершини.

Кути опуклих геометричних фігур

Кути опуклого багатокутника - це кути, що утворені його сторонами. Внутрішні кути знаходяться у внутрішній області даної геометричної фігури. Кут, що утворений його сторонами, які сходяться в одній вершині, називають кутом опуклого багатокутника. Кути, суміжні з внутрішніми кутами даної геометричної фігури, називають зовнішніми. Кожен кут опуклого багатокутника, розташований всередині нього, дорівнює:

180 ° - х,

де х - величина зовнішнього кута. Ця проста формула діє відносно будь-яких геометричних фігур такого типу.

У загальному випадку, для зовнішніх кутів існує наступні правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює різниці між 180 ° і величиною внутрішнього кута. Він може мати значення в межах від -180 ° до 180 °. Отже, коли внутрішній кут складає 120 °, зовнішній матиме величину в 60 °.

Сума кутів опуклих багатокутників

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника встановлюється за формулою:

180 ° * (n-2),

де n - число вершин n-кутника.

Сума кутів опуклого багатокутника обчислюється досить просто. Розглянемо будь-яку таку геометричну фігуру. Для визначення суми кутів всередині опуклого багатокутника необхідно з`єднати одну з його вершин з іншими вершинами. В результаті такої дії виходить (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 °. Оскільки їх кількість в будь-якому многоугольнике дорівнює (n-2), сума внутрішніх кутів такої фігури дорівнює 180 ° х (n-2).

Сума кутів опуклого багатокутника, а саме будь-яких двох внутрішніх та суміжних з ними зовнішніх кутів, у даній опуклою геометричної фігури завжди буде дорівнює 180 °. Виходячи з цього, можна визначити суму всіх її кутів:

180 х n.

Сума внутрішніх кутів становить 180 ° * (n-2). Виходячи з цього, суму всіх зовнішніх кутів даної фігури встановлюють за формулою:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого багатокутника завжди буде дорівнює 360 ° (незалежно від кількості його сторін).

Зовнішній кут опуклого багатокутника в загальному випадку представляється різницею між 180 ° і величиною внутрішнього кута.

Інші властивості опуклого багатокутника

Крім основних властивостей даних геометричних фігур, у них є й інші, які виникають при маніпуляціях з ними. Так, будь-який з багатокутників може бути розділений на кілька опуклих n-кутників. Для цього необхідно продовжити кожну з його сторін і розрізати цю геометричну фігуру вздовж цих прямих ліній. Розбити будь багатокутник на кілька опуклих частин можна і таким чином, щоб вершини кожного з шматків збігалися з усіма його вершинами. З такої геометричної фігури можна дуже просто зробити трикутники шляхом проведення всіх діагоналей з однієї вершини. Таким чином, будь багатокутник, в кінцевому рахунку, можна розбити на певну кількість трикутників, що виявляється досить корисним при вирішенні різних завдань, пов`язаних з такими геометричними фігурами.

Периметр опуклого багатокутника

Відрізки ламаної лінії, звані сторонами багатокутника, найчастіше позначаються такими буквами: ab, bc, cd, de, ea. Це боку геометричної фігури з вершинами a, b, c, d, e. Сума довжини всіх сторін цього опуклого багатокутника називають його периметром.

Окружність багатокутника

Опуклі багатокутники можуть бути вписаними і описаними. Окружність, що стосується всіх сторін цієї геометричної фігури, називається вписаною в неї. Такий багатокутник називають описаним. Центр кола, яка вписана в багатокутник, являє собою точку перетину биссектрис усіх кутів всередині даної геометричної фігури. Площа такого багатокутника дорівнює:

S = p * r,

де r - радіус вписаного кола, а p - напівпериметр даного багатокутника.

Окружність, що містить вершини багатокутника, називають описаної біля нього. При цьому дана опукла геометрична фігура називається вписаною. Центр кола, яка описана близько такого багатокутника, являє собою точку перетину так званих серединних перпендикулярів усіх боків.

Діагоналі опуклих геометричних фігур

Діагоналі опуклого багатокутника - це відрізки, які єднають не сусідні вершини. Кожна з них лежить всередині цієї геометричної фігури. Число діагоналей такого n-кутника встановлюється за формулою:

N = n (n - 3) / 2.

Число діагоналей опуклого багатокутника відіграє важливу роль в елементарній геометрії. Число трикутників (К), на які можливо розбити кожен опуклий багатокутник, обчислюється за наступною формулою:

К = n - 2.

Кількість діагоналей опуклого багатокутника завжди залежить від числа його вершин.

Розбиття опуклого багатокутника

У деяких випадках для вирішення геометричних задач необхідно розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників з непересічними діагоналями. Цю проблему можна вирішити шляхом виведення певної формули.

Визначення завдання: назвемо правильним якесь розбиття опуклого n-кутника на кілька трикутників діагоналями, пересічними тільки у вершинах цієї геометричної фігури.

Рішення: Припустимо, що Р1, Р2, Р3 ..., Pn - вершини цього n-кутника. Число Xn - кількість його розбиття. Уважно розглянемо отриману діагональ геометричної фігури Pi Pn. У будь-якому з правильних разбиений Р1 Pn належить певному трикутнику Р1 Pi Pn, у якого 1

Нехай і = 2 буде однією групою правильних розбиттів, завжди містить діагональ Р2 Pn. Кількість разбиений, які входять до неї, збігається з числом разбиений (n-1) -угольніка Р2 Р3 Р4 ... Pn. Іншими словами, воно дорівнює Xn-1.

Якщо і = 3, то ця інша група разбиений буде завжди містити діагоналі Р3 Р1 і Р3 Pn. При цьому кількість правильних розбиттів, що містяться в цій групі, буде збігатися з числом разбиений (n-2) -угольніка Р3 Р4 ... Pn. Іншими словами, воно буде дорівнювати Xn-2.

Нехай і = 4, тоді серед трикутників правильне розбиття неодмінно буде містити трикутник Р1 Р4 Pn, до якого буде примикати чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3) -угольнік Р4 Р5 ... Pn. Кількість правильних разбиений такого чотирикутника дорівнює Х4, а число розбиття (n-3) -угольніка дорівнює Xn-3. Виходячи з усього викладеного, можна сказати, що повна кількість правильних розбиттів, які містяться в даній групі, дорівнює Xn-3 Х4. Інші групи, у яких і = 4, 5, 6, 7 ... міститимуть Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 ... правильних розбиттів.

Нехай і = n-2, то кількість правильних разбиений в даній групі буде збігатися з числом разбиений в групі, у якій i = 2 (іншими словами, дорівнює Xn-1).

Так як Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то число всіх разбиений опуклого багатокутника одно:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + ... + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Приклад:

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Кількість правильних розбиттів, які перетинають всередині одну діагональ

При перевірці окремих випадків, можна прийти до припущення, що число діагоналей опуклих n-кутників дорівнює добутку всіх разбиений цієї фігури на (n-3).

Доказ даного припущення: уявімо, що P1n = Xn * (n-3), тоді будь n-кутник можливо розбити на (n-2) -треугольніков. При цьому з них може бути складний (n-3) -четирехугольнік. Поряд з цим, у кожного чотирикутника буде діагональ. Оскільки в цій опуклою геометричній фігурі можуть бути проведені дві діагоналі, це означає, що і в будь-яких (n-3) -четирехугольніках можливо провести додаткові діагоналі (n-3). Виходячи з цього, можна зробити висновок, що в будь-якому правильному розбитті є можливість провести (n-3) -діагоналі, що відповідають умовам цього завдання.

Площа опуклих багатокутників

Нерідко при вирішенні різних завдань елементарної геометрії з`являється необхідність визначити площу опуклого багатокутника. Припустимо, що (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n являє собою послідовність координат всіх сусідніх вершин багатокутника, що не має самоперетинів. У цьому випадку його площа обчислюється за такою формулою:

S = frac12- (sum- (X_i + X_{i + 1}) (Y_i + Y_{i + 1})),

де (Х₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).