Як знайти площу чотирикутника?

Якщо на площині послідовно накреслити кілька відрізків так, щоб кожен наступний починався в тому місці, де закінчився попередній, то вийде ламана лінія. Ці відрізки називають ланками, а місця їх перетину - вершинами. Коли кінець останнього відрізка перетнеться з початковою точкою першого, то вийде замкнута ламана лінія, що ділить площину на дві частини. Одна з них є кінцевою, а друга нескінченною.

Проста замкнена лінія разом з укладеної в ній частиною площині (тієї, яка кінцева) називають багатокутником. Відрізки є сторонами, а утворені ними кути - вершинами. Кількість сторін будь-якого багатокутника дорівнює числу його вершин. Фігура, яка має три сторони, називається трикутником, а чотири - чотирикутником. Багатокутник чисельно характеризується такою величиною, як площа, яка показує розмір фігури. Як знайти площу чотирикутника? Цьому вчить розділ математики - геометрія.

Щоб знайти площу чотирикутника, потрібно знати до якого типу він відноситься - опуклому або неопуклого? Опуклий багатокутник весь лежить відносно прямої (а вона обов`язково містить яку-небудь з його сторін) по одну сторону. Крім того, є й такі види чотирикутників, як паралелограм з попарно рівними і паралельними протилежними сторонами (різновиди його: прямокутник з прямими кутами, ромб з рівними сторонами, квадрат з усіма прямими кутами і чотирма рівними сторонами), трапеція з двома паралельними протилежними сторонами і дельтоид з двома парами суміжних сторін, які дорівнюють.

Площі будь-якого багатокутника знаходять, застосовуючи загальний метод, який полягає в тому, щоб розбити його на трикутники, для кожного обчислити площу довільного трикутника і скласти отримані результати. Будь опуклий чотирикутник ділиться на два трикутника, неопуклих - на два або три трикутника, площа його в цьому випадку може складатися з суми і різниці результатів. Площа будь-якого трикутника обчислюють як половину твору підстави (a) на висоту (h), проведену до основи. Формула, яка застосовується в цьому випадку для обчислення, записується як: S = frac12- • a • h.

Як знайти площу чотирикутника, наприклад, паралелограма? Потрібно знати довжину підстави (a), довжину бічної сторони (b) і знайти синус кута alpha-, утвореного підставою і бічною стороною (sinalpha-), формула для розрахунку буде виглядати: S = a • b • sinalpha-. Так як синус кута alpha- є твір підстави паралелограма на його висоту (h = b) - лінію перпендикулярна основи, то його площа обчислюють, помноживши на висоту його підстава: S = a • h. Для розрахунку площі ромба і прямокутника також підходить ця формула. Так як у прямокутника бічна сторона b збігається з висотою h, то його площа обчислюють за формулою S = a • b. Площа квадрата, тому що a = b, дорівнюватиме квадрату його сторони: S = a • a = asup2-. Площа трапеції обчислюється як половина суми його сторін, помножена на висоту (вона проводиться до основи трапеції перпендикулярно): S = frac12- • (a + b) • h.

Як знайти площу чотирикутника, якщо невідомі довжини його сторін, але відомі його діагоналі (e) і (f), а також синус кута alpha-? У цьому випадок площа обчислюють, як половину твору його діагоналей (лінії, які з`єднують вершини багатокутника), помножене на синус кута alpha-. Формула може бути записана у такому вигляді: S = frac12- • (e • f) • sinalpha-. Зокрема площа ромба в цьому випадку буде дорівнювати половині твори діагоналей (лінії, що з`єднують протилежні кути ромба): S = frac12- • (e • f).

Як знайти площу чотирикутника, який не є параллелограммом або трапецією, його зазвичай прийнято називати довільний чотирикутник. Площа такої фігури виражають через його напівпериметр (Rho- - сума двох сторін із загальною вершиною), сторони a, b, c, d і суму двох протилежних кутів (alpha- + beta-): S = radic - [( Rho- - a) • (Rho- - b) • (Rho- - c) • (Rho- - d) - a • b • c • d • cossup2- frac12- (alpha- + beta-)].

Якщо чотирикутник вписаний в коло, а phi- = 180о, то для розрахунку його площі використовують формулу Брахмагупти (індійський астроном і математик, що жив в 6-7 століттях нашої ери): S = radic - [( Rho- - a) • (Rho- - b) • (Rho- - c) • (Rho- - d)]. Якщо чотирикутник описаний окружністю, то (a + c = b + d), а його площа обчислюють: S = radic- [a • b • c • d] • sin frac12- (alpha- + beta-). Якщо чотирикутник одночасно є описаним однієї окружністю і вписаним в іншу коло, то для обчислення площі використовують наступну формулу: S = radic- [a • b • c • d].