Площа трапеції

Слово трапеція використовується в геометрії для позначення чотирикутника, що характеризується певними властивостями. Крім того, воно має ще кілька значень. В архітектурі використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих широкими біля основи і звужуються до верху (в єгипетському стилі). У спорті - це гімнастичний снаряд, в моді - плаття, пальто або інший вид одягу певного крою і фасону.

Саме слово «трапеція» походить від грецького, в перекладі на російську мову означає «столик» або «стіл, їжа». У евклідової геометрії так називають опуклий чотирикутник, що має одна пару протилежних сторін, які обов`язково паралельні один одному. Слід згадати кілька визначень для того, щоб знайти площу трапеції. Паралельні сторони цього багатокутника називаються підставами, а дві інших - бічними. Висотою трапеції є відстань між основами. Середньою лінією прийнято вважати лінію, що сполучає середини сторін бічних. Всі ці поняття (підстави, висота, середня лінія і бічні сторони) є елементами багатокутника, що є окремим випадком чотирикутника.

Тому правомочним твердження, що площа трапеції може бути знайдена за формулою, призначеної для чотирикутника: S = frac12- • (a + b) • h. Тут S - це площа, a і b - це нижню і верхню снования, h - це висота, опущена з кутка, прилеглого до верхнього основи, перпендикулярно нижнього основи. Тобто S дорівнює половині твори суми підстав на висоту. Наприклад, якщо підстави трапеції - 6 і 2 мм, а її висота - 15 мм, то її площа буде дорівнює: S = frac12- • (6 + 2) • 15 = 60 ммsup2-.

Використовуючи відомі властивості цього чотирикутника, можна обчислити площу трапеції. В одному з важливих тверджень говориться, що середня лінія (позначимо її буквою micro-, а підстави буквами a і b) дорівнює половині суми підстав, яким вона завжди паралельна. Тобто micro- = frac12- (a + b). Таким чином, підставляючи у відому формулу обчислення S чотирикутника, середню лінію, можна записати формулу для розрахунку в іншому вигляді: S = micro- • h. Для випадку, коли середня лінія - 25 см, а висота - 15 см, площа трапеції дорівнює: S = 25 • 15 = 375 смsup2-.

Відповідно до відомого властивості багатокутника з двома паралельними сторонами, які є підставою, вписати коло з радіусом r в неї можна за умови, що сума підстав буде обов`язково дорівнювати сумі її бічних сторін. Якщо до того ж трапеція є рівнобедреної (тобто, рівні між собою її бічні сторони: c = d), а також відомий кут при основі alpha-, то можна знайти, чому дорівнює площа трапеції за формулою: S = 4rsup2- / sinalpha-, а для окремого випадку, коли alpha- = 30 °, S = 8rsup2-. Наприклад, якщо кут при одному з підстав дорівнює 30 °, і вписане коло з радіусом 5 дм, то площа такого багатокутника буде дорівнювати: S = 8 • 5sup2- = 200 дмsup2-.

Можна також знайти площу трапеції, розбивши її на фігури, обчисливши площа кожної і склавши ці значення. Це краще розглянути для трьох можливих варіантів:

1. Бічні сторони і кути при основі рівні. У цьому випадку трапецію прийнято називати рівнобедреної.
2. Якщо одна бічна сторона утворює прямі кути з підставами, тобто перпендикулярна їм, то така трапеція буде називатися прямокутної.
3. Чотирикутник, у якого паралельні дві сторони. У цьому випадку паралелограм може бути розглянутий, як окремий випадок.

Для рівнобедрений трапеції площа складається з суми двох однакових площ прямокутних трикутників S1 = S2 (висота їх дорівнює висоті трапеції h, а підстави трикутників половині різниці підстав трапеції frac12- [a - b]) і площі прямокутника S3 (одна сторона його дорівнює верхньому основи b, а інша - висоті h). З чого випливає, що площа трапеції S = S1 + S2 + S3 = frac14- (a - b) • h + frac14- (a - b) • h + (b • h) = frac12- (a - b) • h + (b • h). Для прямокутної трапеції площа складається з суми площ трикутника і чотирикутника: S = S1 + S3 = frac12- (a - b) • h + (b • h).

Криволінійна трапеція в даній статті не розглядалася, площа трапеції в цьому випадку обчислюють за допомогою інтегралів.