Що таке окружність як геометрична фігура: основні властивості і характеристики

Щоб у загальних рисах уявити собі, що таке коло, погляньте на кільце або обруч. Можна також взяти круглий стакан і чашку, поставити догори дном на аркуш паперу і обвести олівцем. При багаторазовому збільшенні отримана лінія стане товстою і не зовсім рівною, і краї її будуть розмитими. Окружність як геометрична фігура не має такої характеристики, як товщина.

Окружність: визначення та основні засоби опису

Окружність - це замкнута крива, що складається з безлічі точок, розташованих в одній площині і рівновіддалених від центру кола. При цьому центр знаходиться в тій же площині. Як правило, він позначається буквою О.

Відстань від будь-якої з точок кола до центру називається радіусом і позначається буквою R.

Якщо з`єднати дві будь-які точки кола, то отриманий відрізок буде називатися хордою. Хорда, що проходить через центр кола, - це діаметр, що позначається буквою D. Діаметр ділить коло на дві рівні дуги і по довжині вдвічі перевищує розмір радіусу. Таким чином, D = 2R, або R = D / 2.

Властивості хорд

1. Якщо через дві будь-які точки окружності провести хорду, а потім перпендикулярно останньої - радіус або діаметр, то цей відрізок розіб`є і хорду, і дугу, відсічену нею, на дві рівні частини. Вірно і зворотне твердження: якщо радіус (діаметр) ділить хорду навпіл, то він перпендикулярний їй.
2. Якщо в межах однієї і тієї ж окружності провести дві паралельні хорди, то дуги, відсічені ними, а також укладені між ними, будуть рівні.
3. Проведемо дві хорди PR і QS, пересічні в межах кола в точці T. Твір відрізків однієї хорди завжди буде дорівнює добутку відрізків інший хорди, тобто PT х TR = QT х TS.

Довжина кола: загальне поняття та основні формули

Однією з базових характеристик даної геометричної фігури є довжина кола. Формула виводиться з використанням таких величин, як радіус, діаметр і константа "pi-", що відображає сталість відношення довжини окружності до її діаметра.

Таким чином, L = pi-D, або L = 2pi-R, де L - це довжина кола, D - діаметр, R - радіус.

Формула довжини кола може розглядатися як вихідна при знаходженні радіусу або діаметра по заданій довжині кола: D = L / pi-, R = L / 2pi-.

Що таке окружність: основні постулати

1. Пряма і окружність можуть розташовуватися на площині таким чином:

• не мати загальних точок;
• мати одну спільну точку, при цьому пряма називається дотичній: якщо провести радіус через центр і точку дотику, то він буде перпендикулярний касательной;
• мати дві спільні точки, при цьому пряма називається січною.

2. Через три довільні точки, що лежать в одній площині, можна провести не більше однієї окружності.

3. Два кола можуть стикатися тільки в одній точці, яка розташована на відрізку, що з`єднує центри цих кіл.

4. За будь-яких поворотах щодо центру окружність переходить сама в себе.

5. Що таке коло з точки зору симетрії?

• однакова кривизна лінії в будь-який з точок;
• центральна симетрія відносно точки О;
• дзеркальна симетрія щодо діаметру.

6. Якщо побудувати два довільних вписаних кута, що спираються на одну й ту ж дугу кола, вони будуть рівні. Кут, що спирається на дугу, рівну половині довжини кола, тобто відсічену хордою-діаметром, завжди дорівнює 90 °.

7. Якщо порівнювати замкнуті криві лінії однакової довжини, то вийде, що окружність відмежовує ділянку площині найбільшої площі.

Коло, вписане в трикутник і описане навколо нього

Уявлення про те, що таке коло, буде неповним без опису особливостей взаємозв`язку цієї геометричної фігури з трикутниками.

1. При побудові кола, вписаного в трикутник, її центр завжди буде збігатися з точкою перетину бісектрис кутів трикутника.
2. Центр кола, описаного навколо трикутника, розташовується на перетині серединних перпендикулярів до кожної з сторін трикутника.
3. Якщо описати коло близько прямокутного трикутника, то її центр буде знаходитися на середині гіпотенузи, тобто остання буде діаметром.
4. Центри вписаного і описаного кіл будуть знаходитися в одній точці, якщо базою для побудови є рівносторонній трикутник.

Основні твердження про окружності і чотирикутники

1. Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло лише тоді, коли сума його протилежних внутрішніх кутів дорівнює 180 °.
2. Побудувати вписану в опуклий чотирикутник окружність можна, якщо однакова сума довжин його протилежних сторін.
3. Описати коло навколо паралелограма можна, якщо його кути прямі.
4. Вписати в паралелограм окружність можна в тому випадку, якщо всі його сторони рівні, тобто він є ромбом.
5. Побудувати коло через кути трапеції можна, тільки якщо вона рівнобедрена. При цьому центр описаного кола буде розташовуватися на перетині осі симетрії чотирикутника і серединного перпендикуляра, проведеного до бічної сторони.