Сума кубів і їх різниця: формули скороченого множення

Математика - одна з тих наук, без яких неможливе існування людства. Практично кожна дія, кожен процес сполучені з використанням математики та її елементарних дій. Багато великі вчені доклали величезних зусиль до того, щоб зробити дану науку простіше і зрозуміліше. Різні теореми, аксіоми і формули дозволяють учням швидше сприймати інформацію і застосовувати знання на практиці. При цьому більшість з них пам`ятається протягом усього життя.

Найзручнішими формулами, що дозволяє студентам і школярам справлятися з гігантськими прикладами, дробом, раціональними та ірраціональними виразами, є формули, в тому числі і скороченого множення:

1. суми та різниці кубів:

s³ - t³ - разность-

k³ + l³ - сума.

2. формула куба суми, а також куба різниці:

(F + g)³ і (h - d)^3-

3. різницю квадратів:

z² - v²-

4. квадрат суми:

(N + m)² і т.д.

Формула сума кубів є практично найскладнішою для запам`ятовування і відтворення. Виною тому чергуються знаки в її розшифровці. Їх неправильно пишуть, плутаючи з іншими формулами.

Сума кубів розкривається наступним чином:

k³ + l³ = (K + l) * (k² - k * l + l²).

Другу частину рівняння іноді плутають з квадратичним рівнянням або розкритим виразом квадрата суми і додають у другий доданок, а саме до «k * l» число 2. Однак формула сума кубів розкривається тільки так. Давайте доведемо рівність правої і лівої частини.

Підемо від зворотнього, тобто, постараємося показати, що друга половина (k + l) * (k² - k * l + l²) Буде дорівнювати висловом k³ + l³.

Розкриємо дужки, перемноживши доданки. Для цього спочатку множимо «k» на кожен член другого вирази:

k * (k² - k * l + k²) = K * l² - k * (k * l) + k * (l²) -

потім таким же чином виробляємо дію з невідомим «l»:

l * (k² - k * l + k²) = L * k² - l * (k * l) + l * (l²) -

спрощуємо вийшло вираз формули сума кубів, розкриваємо дужки, і при цьому наводимо подібні доданки:

(K³ - k²* L + k * l²) + (L * k² - l²* K + l³) = K³ - k²l + kl² + lk² - lk² + l³ = K³ - k²l + k²l + kl²- kl² + l³ = K³ + l³.

Цей вираз дорівнює початкового варіанту формули сума кубів, а це і було потрібно показати.

Знайдемо доказ для вираження s³ - t³. Дана математична формула скороченого множення має назву різниця кубів. Розкривається вона таким чином:

s³ - t³ = (S - t) * (s² + t * s + t²).

Аналогічним, як і в попередньому прикладі чином доведемо відповідність правої і лівої частин. Для цього розкриємо дужки, перемноживши доданки:

для невідомого «s»:

s * (s² + s * t + t²) = (S³ + s²t + st²) -

для невідомого «t»:

t * (s² + s * t + t²) = (S²t + st² + t³) -

при перетворенні та розкритті дужок даної різниці виходить:

s³ + s²t + st² - s²t - s²t - t³ = S³ + s²t- s²t - st²+st²- t³= S³ - t³ - що потрібно було довести.

Для того щоб запам`ятати, які знаки ставляться при розкритті подібного вираження, необхідно звернути увагу на знаки між складовими. Так, якщо одне невідоме відокремлене від іншого математичним символом «-», то в першу скобці буде стояти мінус, а другий - два плюси. Якщо між кубами розташований знак «+», то, відповідно, перший множник буде містити плюс, а другий мінус, а потім плюс.

Це можна представити у вигляді невеликої схеми:

s³ - t³ - («Мінус») * («плюс» «плюс») -

k³ + l³ - («Плюс») * («мінус» «плюс»).

Розглянемо приклад:

Дано вираз (w - 2)³ + 8. Необхідно розкрити дужки.

Рішення:

(W - 2)³ + 8 можна представити у вигляді (w - 2)³ + 2³

Відповідно, як суму кубів цей вираз можна розкласти за формулою скороченого множення:

(W - 2 + 2) * ((w - 2)² - 2 * (w - 2) + 2²) -

Потім спрощуємо вираз:

w * (w² - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w² - 6w + 12) = w³ - 6w² +12w.

При цьому, першу частину (w - 2)³ можна розглядати також як куб різниці:

(H - d)³ = H³ - 3 * h²* D + 3 * h * d² - d³.

Тоді, якщо розкрити її по даній формулі, вийде:

(W - 2)³ = W³ - 3 * w² * 2 + 3 * w * 2² - 2³ = W³ - 6 * w² + 12w - 8.

Якщо додати до неї другу частину первісного прикладу, а саме «+8», то результат буде наступним:

(W - 2)³ + 8 = w³ - 3 * w² * 2 + 3 * w * 2² - 2³ + 8 = w³ - 6 * w² + 12w.

Таким чином, ми знайшли рішення даного прикладу двома способами.

Необхідно пам`ятати, що запорукою успіху в будь-якій справі, в тому числі і у вирішенні математичних прикладів, є посидючість і уважність.