Принцип Діріхле. Наочність і простота у вирішенні завдань різної складності
Німецького математика Дирихле Петера Густава Лежен (13.02.1805 - 05.05.1859) знають як засновника принципу, названого його ім`ям. Але крім теорії, традиційно пояснюється на прикладі "зайців і клітин", на рахунку іноземного члена-кореспондента Петербурзької академії наук, члена Лондонського королівського товариства, Паризької академії наук, Берлінської академії наук, професора Берлінського і Геттінгенського університетів безліч праць з математичного аналізу і теорії чисел .
Він не тільки ввів в математику всім відомий принцип, Діріхле також зміг довести теорему про нескінченно великому числі простих чисел, які існують в будь арифметичній прогресії з цілих чисел з певною умовою. А умова це полягає в тому, що перший член її і різниця - числа взаємно прості.
Він піддав ретельному вивченню закон розподілу чисел простих, які властиві арифметичній прогресії. Дирихле ввів функціональні ряди, що володіють особливим видом, йому вдалося в частині математичного аналізу вперше точно сформулювати та дослідити поняття умовної збіжності і встановити ознака збіжності ряду, дати строге доведення можливості розкласти в ряд Фур`є функцію, яка має кінцеве число, як максимумів, так і мінімумів. Не залишив без уваги у своїх роботах Діріхле питання механіки і математичної фізики (принцип Дирихле для теорії гармонійної функції).
Унікальність розробленого німецьким вченим методу полягає в його наочної простоті, яка дозволяє вивчати принцип Діріхле в початковій школі. Універсальний інструмент для вирішення широкого спектру завдань, який застосовують як для доказу простих теорем у геометрії, так і для вирішення складних логічних і математичних задач.
Доступність і простота методу дозволила використовувати для його пояснення наочно ігровий спосіб. Складне і трохи заплутане вираз, що формулює принцип Діріхле, має вигляд: «Для безлічі з N елементів, розбитого на деяку кількість непересічних частин - n (загальні елементи відсутні), за умови N> n, хоча б одна частина буде містити більше, ніж один елемент ». Його вирішили вдало перефразувати, для цього з метою отримання наочності довелося замінити N на «зайців», а n на «клітки», і заумне вираз отримало вигляд: «За умови, що зайців хоча б на одиницю більше, ніж клітин, завжди знайдеться хоча б одна клітина, в яку потрапить два і більше зайця ».
Даний метод логічного міркування ще носить назву від протилежного, він отримав широку популярність як принцип Дирихле. Завдання, які вирішуються при його використанні, найрізноманітніші. Не вдаючись у докладний опис рішення, застосовується принцип Діріхле з однаковим успіхом як для доказу простих геометричних і логічних завдань, так і лягає основою умовиводів при розгляді проблем вищої математики.
Прихильники використання даного методу стверджує, що основна складність використання методу, це визначити, які дані підпадають під визначення «зайців», а які слід розглядати як «клітки».
У задачі про прямий і трикутнику, що лежать в одній площині, при необхідності довести, що вона не може перетинати відразу три сторони, як обмеження використовується одна умова - пряма не проходить ні через одну висоту трикутника. У якості «зайців» розглядаємо висоти трикутника, а «клітинами» є дві півплощини, які лежать по обидві сторони прямій. Очевидно, що як мінімум дві висоти опиняться в одній з півплощини, відповідно, відрізок, який вони обмежують, прямій не присікається, що потрібно було довести.
Також просто і лаконічно використовується принцип Діріхле в логічній завданню про послів і вимпели. За круглим столом розташувалися посли різних держав, а ось прапори їхніх країн розташовані по периметру так, що кожен посол опинився поряд з символом чужої країни. Необхідно довести існування такого становища, коли хоча б два прапори будуть знаходитися біля представників відповідних країн. Якщо прийняти послів за «зайців», а «клітинами» позначити залишилися положення при обертанні столу (їх уже буде менше на одиницю), то завдання приходить до рішення сама собою.
Ці два приклади наведені для того, щоб показати, як легко вирішуються заплутані проблеми при використанні методу, розробленого німецьким математиком.
Що таке математика? Однозначної відповіді на питання про те, що таке математика, навіть сьогодні ще не існує, незважаючи на те, що дана наука зародилася досить давно, практично на зорі цивілізації. Протягом всього часу вона збагачувалася, все більше при цьому…
Теорема синусів. Рішення трикутників При вивченні трикутників мимоволі постає питання про обчислення залежності між їх сторонами і кутами. В геометрії теорема косинусів і синусів дає найбільш повну відповідь для вирішення цієї проблеми. У достатку різних математичних виразів і формул,…
Як знайти висоту трикутника? Для вирішення багатьох геометричних завдань потрібно знайти висоту заданої фігури. Ці завдання мають прикладне значення. При проведенні будівельних робіт визначення висоти допомагає обчислити необхідну кількість матеріалів, а також визначити,…
Поняття трикутника. Властивості рівнобедреного трикутника Геометрія - дуже цікава наука. Вона не тільки розвиває логічне мислення, але і сприяє поліпшенню уваги і пам'яті. Це одна з основних наук, які вивчають у школах та інших навчальних закладах. Властивостям геометричних фігур приділяється в ній…
Метод математичної індукції Метод математичної індукції може прирівнюватися до прогресу. Так, починаючи з нижчого рівня, дослідники за допомогою логічного мислення переходять до вищого. Будь-який поважаючий себе людина постійно прагне до прогресу і вмінню логічно мислити. Саме…
Теорія чисел: теорія і практика Існує кілька визначень поняття «теорія чисел». Одне з них свідчить, що це спеціальний розділ математики (або вищої арифметики), яка детально вивчає цілі числа і об'єкти, подібні з ними.Інше визначення уточнює, що цей розділ математики вивчає…
Прорахувати все можна. Елементи комбінаторики Устрій світу передбачає наявність величезної кількості різноманітних явищ і предметів. При цьому наука доводить, що в основі цього достатку лежить набір певної кількості складових частин. З'єднуючись в різному порядку, ці цеглинки стають основою для…
Арифметична прогресія Завдання з арифметичній прогресії існували вже в глибоку давнину. Вони з'являлися і вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнд (XIX століття до…
Компактне безліч Компактне безліч являє собою певне топологічний простір, в покритті якого знаходиться кінцеве підпокриття. Компактні простору в топології за своїми властивостями можуть нагадувати систему кінцевих множин у відповідній теорії.Компактне безліч або…
Прості числа: повсякденність нерозгаданою загадки Прості числа являють собою одне з найцікавіших математичних явищ, яке привертає до себе увагу вчених і простих громадян на протязі вже більше двох тисячоліть. Незважаючи на те, що зараз ми живемо в століття комп'ютерів і найсучасніших інформаційних…
Періодична функція: загальні поняття Часто при вивченні явищ природи, хімічних і фізичних властивостей різних речовин, а також при вирішенні складних технічних завдань доводиться стикатися з процесами, характерною рисою яких є періодичність, тобто тенденція до повторення через деякий…
Подільники і кратні числа Тема «Кратні числа» вивчається в 5 класі загальноосвітньої школи. Її метою є вдосконалення письмових та усних навичок математичних обчислень. На цьому уроці вводяться нові поняття - «кратні числа» і «подільники», відпрацьовується техніка знаходження…
Динамічне програмування, основні принципи Для вибору оптимального рішення при виконанні завдань програмування іноді потрібно перебирати велику кількість комбінацій даних, що навантажує пам'ять персонального комп'ютера. До таких методів відноситься, наприклад, метод програмування «розділяй і…