Арифметична прогресія

Завдання з арифметичній прогресії існували вже в глибоку давнину. Вони з`являлися і вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнд (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: роздягли десять заходів хліба на десять чоловік, за умови якщо різниця між кожним з них складає одну восьму заходи ».

І в математичних працях стародавніх греків зустрічаються витончені теореми, що мають відношення до арифметичній прогресії. Так, Гипсикл Олександрійський (II століття до нашої ери), що склав чимало цікавих завдань і що додав чотирнадцятого книгу до «Початкам» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів другого половини більше суми членів першого на число, кратне квадрату 1/2 числа членів ».

Візьмемо довільний ряд натуральних чисел (Більше нуля): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., який називають числовою послідовністю.

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай буквами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 ... читається: «a перше», «a другий», «a 3-тє» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною або кінцевої.

А що ж таке арифметична прогресія? Під нею розуміють послідовність чисел, одержувану складанням попереднього члена (n) з одним і тим же числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючій.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються тільки кілька її перших членів. При дуже великій кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Здається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an = kn + b, при цьому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірно твердження, що є зворотним: якщо послідовність задається подібної формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена і подальшого.
2. Зворотне: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто якщо виконується умова, то дана послідовність - арифметична прогресія. Це рівність одночасно є і ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичним властивістю прогресії.
   Точно так само вірна теорема, яка відображає цю властивість: послідовність - арифметична прогресія тільки в тому випадку, якщо ця рівність вірно для будь-якого з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість для чотирьох будь-яких чисел арифметичній прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член знайти можна, застосовуючи наступну формулу:

an = a1 + d (n-1).

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різницю (d) дорівнює чотирьом. Знайти потрібно сорок п`ятого член цієї прогресії. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d (n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перший n членів кінцевої прогресії) обчислюється таким чином:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Якщо відомі різниця арифметичної прогресії і перший член, то для обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сума арифметичній прогресії, яка містить n членів, підраховується таким чином:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань і вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, таких як 1,2,3, ..., n, ...- найпростіший приклад арифметичній прогресії.

Крім арифметичній прогресії існує ще й геометрична, яка володіє своїми властивостями і характеристиками.