Теорема синусів. Рішення трикутників

При вивченні трикутників мимоволі постає питання про обчислення залежності між їх сторонами і кутами. В геометрії теорема косинусів і синусів дає найбільш повну відповідь для вирішення цієї проблеми. У достатку різних математичних виразів і формул, законів, теорем і правил зустрічаються такі, що відрізняються надзвичайною гармонійністю, лаконічністю і простотою подачі укладеного в них сенсу. Теорема синусів є яскравим прикладом подібної математичної формулювання. Якщо у словесній трактуванні ще й виникає певне перешкода в осмисленні даного математичного правила, то при погляді на математичну формулу все відразу стає на свої місця.

Перші відомості про дану теоремі були виявлені у вигляді докази її в рамках математичного праці Насир ад-Дін Ат-Тусі, датованого тринадцятим століттям.

Наближаючись ближче до розгляду співвідношення сторін і кутів у будь-якому трикутнику, варто відзначити, що теорема синусів дозволяє вирішувати масу математичних задач, при цьому даний закон геометрії знаходить собі застосування в різних видах практичної діяльності людини.

Сама теорема синусів свідчить, що для будь-якого трикутника характерна пропорційність сторін до синусам протилежних кутів. Також є і друга частина цієї теореми, згідно з якою відношення будь-якої сторони трикутника до синуса протилежного кута одно діаметру кола, описаної близько розглянутого трикутника.

У вигляді формули це вираження виглядає, як

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Має теорема синусів доказ, який в різних варіантах підручників пропонується в багатій різноманітності версій.

Для прикладу розглянемо один з доказів, що дають пояснення першої частини теореми. Для цього поставимо метою довести вірність вираження a sinC = c sinA.

У довільному трикутнику ABC побудуємо висоту BH. В одному з варіантів побудови H буде лежати на відрізку AC, а в іншому за його межами, залежно від величини кутів при вершинах трикутників. У першому випадку висоту можна виразити через кути і сторони трикутника, як BH = a sinC і BH = c sinA, що і є необхідним доказом.

У випадку, коли точка H опиниться за межами відрізка AC, можемо отримати наступні варіанти рішень:

ВН = a sinC і ВН = c sin (180-A) = c sinA-

або ВН = a sin (180-C) = а sinC і ВН = c sinA.

Як бачимо, в незалежності від варіантів побудови, ми приходимо до бажаного результату.

Доказ другої частини теореми зажадає від нас описати навколо трикутника коло. Через одну з висот трикутника, наприклад B, побудуємо діаметр кола. Отриману точку на колі D з`єднаємо з однією з висотою трикутника, нехай це буде точка A трикутника.

Якщо розглянути отримані трикутники ABD і ABC, то можна помітити рівність кутів C і D (вони спираються на одну дугу). А враховуючи, що кут А дорівнює дев`яносто градусів то sin D = c / 2R, або ж sin C = c / 2R, що потрібно було довести.

Теорема синусів є відправною точкою для вирішення широкого спектру різних завдань. Особлива привабливість полягає в практичному її застосуванні, як наслідок з теореми ми отримуємо можливість зв`язати між собою величини сторін трикутника, протилежних кутів і радіуса (діаметра) описаної навколо трикутника кола. Простота і доступність формули, яка описує дане математичний вираз, дозволяли широко використовувати цю теорему для вирішення завдань за допомогою різних механічних рахункових пристосувань (Логарифмічні лінійки, таблиці та ін.), але навіть прихід на службу людини потужних обчислювальних пристроїв не знизив актуальність даної теореми.

Ця теорема не тільки входить в обов`язковий курс геометрії середньої школи, але й надалі застосовується в деяких галузях практичної діяльності.