Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Що таке арифметика? Коли людство почало використовувати числа і працювати з ними? Куди йдуть коріння таких буденних понять, як числа, дробу, віднімання, додавання і множення, які людина зробила невіддільною частиною свого життя і світогляду? Давньогрецькі уми захоплювалися такими науками, як математика, арифметика і геометрія, як прекраснейшими симфоніями людської логіки.

Можливо, арифметика не так глибока, як інші науки, але що було б з ними, забудь людина елементарну таблицю множення? Звичне нам логічне мислення, використовують цифри, дробу і інші інструменти, нелегко давалося людям і довгий час було недоступне для наших предків. Фактично до розвитку арифметики жодна область людського знання не була по-справжньому науковою.

Арифметика – це абетка математики

Арифметика – це наука про числах, з якою будь-яка людина починає знайомство з захоплюючим світом математики. Як казав М. В. Ломоносов, арифметика – це брама вченості, що відкривають нам шлях до світопізнання. А адже він правий, хіба пізнання світу можна відокремити від знання цифр і букв, математики й мови? Можливо, в минулі часи, але не в сучасному світі, де бурхливий розвиток науки і техніки диктує свої закони.

Слово "арифметика" (грец. "Аріфмос") грецького походження, позначає "число". Вона вивчає число і все що може бути з ними пов`язано. Це світ чисел: різні дії над числами, числові правила, рішення задач, які пов`язані з множенням, відніманням і т. Д.

Загальноприйнято вважати, що арифметика є початковою сходинкою математики і твердою основою для більш складних її розділів, таких, як алгебра, матаналіз, вища математика і т. Д.

Основний об`єкт арифметики

Основа арифметики – це ціле число, властивості та закономірності якого розглядаються у вищій арифметиці або теорії чисел. По суті, від того, наскільки вірний підхід узятий у розгляді такого невеликого блоку, як натуральне число, залежить міцність усього будинку – математики.

Тому на питання про те, що таке арифметика, можна відповісти просто: це наука про числах. Так, про звичну сімці, дев`ятці і всім цьому різноманітному співтоваристві. І подібно до того, як і хороших, і самих посередніх віршів не напишеш без елементарної абетки, без арифметики не вирішити навіть елементарної завдання. Ось чому всі науки просунулися тільки після розвитку арифметики і математики, будучи до цього всього лише набором припущень.

Арифметика – наука-фантом

Що таке арифметика – натуральна наука чи фантом? Насправді, як міркували давньогрецькі філософи, ні чисел, ні фігур в реальності не існує. Це всього лише фантом, який створюється в людському мисленні при розгляданні навколишнього середовища з її процесами. Справді, що таке число? Ніде навколо ми не бачимо нічого подібного, що можна було б назвати числом, швидше, число – це спосіб людського розуму вивчати світ. А може бути, це вивчення нас самих зсередини? Про це сперечаються філософи багато століть поспіль, тому дати вичерпну відповідь ми не беремося. Так чи інакше, арифметиці вдалося настільки міцно зайняти свої позиції, що в сучасному світі ніхто не може вважатися соціально адаптованою без знання її основ.

Як з`явилося натуральне число

Звичайно, основний об`єкт, яким оперує арифметика, – натуральне число, таке, як 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... і т.д. Арифметика натуральних чисел є результатом рахунки звичайних предметів, наприклад, корів на лузі. Все-таки визначення "багато" або "мало" колись перестало влаштовувати людей, і довелося винаходити більш досконалі техніки рахунку.

Але справжній прорив стався, коли людська думка дійшла до того, що можна одним і тим же числом «два» позначити і 2 кілограми, і 2 цегли, і 2 деталі. Справа в тому, що потрібно абстрагуватися від форм, властивостей і сенсу предметів, тоді можна виробляти деякі дії з цими предметами у вигляді натуральних чисел. Так народилася арифметика чисел, яка далі розвивалася і ширилася, займаючи все більші позиції в житті суспільства.

Такі поглиблені поняття числа, як нуль і негативне число, дробу, позначення чисел цифрами та іншими способами, мають багатющу й надзвичайно цікаву історію розвитку.

Арифметика і практичні єгиптяни

Два найдавніших супутника людини в дослідженні навколишнього світу та вирішення побутових завдань – це арифметика і геометрія.

Вважається, що історія арифметики бере свій початок на Стародавньому Сході: в Індії, Єгипті, Вавилоні та Китаї. Так, папірус Ринда єгипетського походження (названий так, оскільки належав однойменним власнику), що датується XX в. до н.е, крім інших цінних даних містить розкладання однієї дробу на суму дробів з різними знаменниками і чисельником, рівним одиниці.

Наприклад: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Але в чому сенс такого складного розкладання? Справа в тому, що єгипетський підхід не терпів абстрагованих роздумів про числах, навпаки, обчислення проводилися тільки з практичною метою. Тобто єгиптянин стане займатися такою справою, як розрахунки, виключно для того, щоб побудувати гробницю, наприклад. Потрібно було вирахувати довжину ребра споруди, і це змушувало сідати людини за папірус. Як видно, єгипетський прогрес у розрахунках був викликаний, швидше масовим, будівництвом, ніж любов`ю до науки.

З цієї причини розрахунки, знайдені на папірусах, не можна назвати роздумами на тему дробів. Швидше за все, це практична заготівля, яка допомагала надалі вирішувати завдання з дробами. Стародавні єгиптяни, які не знали таблиці множення, виробляли досить довгі обчислення, розкладені на безліч підзадач. Можливо, це одна з таких підзадач. Неважко помітити, що розрахунки з такими заготовками вельми трудомісткі і малоперспективні. Можливо, з цієї причини ми не бачимо великого внеску Стародавнього Єгипту в розвиток математики.

Стародавня Греція і філософська арифметика

Багато знань Стародавнього Сходу були успішно освоєні стародавніми греками, відомими любителями абстрактних, абстрактних і філософських роздумів. Практика їх цікавила не менше, але кращих теоретиків і мислителів знайти складно. Це пішло на користь науці, оскільки в арифметику неможливо заглибитися, що не розірвавши її з реальністю. Звичайно, можна множити 10 корів і 100 літрів молока, але далеко просунутися не вдасться.

Мислячі глибоко греки залишили значний слід в історії, і їхні праці дійшли до нас:

• Евклід і «Начала».
• Піфагор.
• Архімед.
• Ератосфен.
• Зенон.
• Анаксагор.

І, звичайно, що перетворюють все в філософію греки, а особливо продовжувачі справи Піфагора, настільки були захоплені числами, що вважали їх таїнством гармонії світу. Числа настільки були вивчені і досліджені, що деяким з них і їх парам приписували особливі властивості. Наприклад:

• Досконалі числа – ті, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників, крім самого числа (6 = 1 + 2 + 3).
• Дружні числа – це такі числа, одне з яких дорівнює сумі всіх дільників другого, і навпаки (піфагорійці знали тільки одну таку пару: 220 і 284).

Греки, які вважали, що науку потрібно любити, а не бути з нею заради вигоди, досягли великих успіхів, досліджуючи, граючи і складаючи числа. Потрібно відзначити, що не всі їх вишукування знайшли широке застосування, деякі з них залишилися лише "для краси".

Східні мислителі Середньовіччя

Точно так само і в Середні століття арифметика своїм розвитком зобов`язана східним сучасникам. Індійці передали нам цифри, які ми активно використовуємо, таке поняття як "нуль", і позиційний варіант системи числення, звичний сучасному сприйняттю. Від Аль-каші, який в 15 столітті працював у Самарканді, ми успадкували десяткові дроби, без яких важко уявити сучасну арифметику.

Багато в чому знайомство Європи з досягненнями Сходу стало можливо завдяки праці італійського вченого Леонардо Фібоначчі, який написав твір "Книга абака", що знайомить зі східними нововведеннями. Воно стало наріжним каменем розвитку алгебри і арифметики, дослідницької та наукової діяльності в Європі.

Російська арифметика

І, нарешті, арифметика, що знайшла своє місце і укорінена в Європі, стала поширюватися і на руські землі. Перша російська арифметика вийшла в 1703 році – це була книга про арифметику Леонтія Магницького. Довгий час вона залишалася єдиним навчальним посібником з математики. Вона містить початкові моменти алгебри і геометрії. Цифри, які використовував у прикладах перший в Росії підручник арифметики, арабські. Хоча арабські цифри зустрічалися і раніше, на гравюрах, що датуються 17 століттям.

Сама книга прикрашена зображеннями Архімеда і Піфагора, а на першому аркуші – образ арифметики у вигляді жінки. Вона сидить на престолі й під нею написано на івриті слово, що позначає ім`я Бога, а на щаблях, які ведуть до престолу, написані слова «поділ», «множення», «складання» і т. Д. Можна тільки уявити, яке значення зраджували таким істин, які зараз вважаються буденним явищем.

Підручник з 600 сторінок описує як основи начебто таблиці додавання і множення, так і додатки до навігаційних наук.

Не дивно, що автор вибрав зображення грецьких мислителів для своєї книги, адже він і сам був полонений красою арифметики, кажучи: «Арифметика є чіслітельніца, є художество чесне, незавістное ...». Такий підхід до арифметики цілком обгрунтований, адже саме її повсюдне впровадження можна вважати початком бурхливого розвитку наукової думки в Росії і загальної освіти.

Непрості прості числа

Просте число – це таке натуральне число, яке має тільки 2 позитивних дільника: 1 і саме себе. Всі інші числа, не рахуючи 1, називають складовими. Приклади простих чисел: 2, 3, 5, 7, 11, і всі інші, які не мають інших дільників, крім числа 1 і себе самого.

Що ж стосується числа 1, то воно на особливому рахунку – існує домовленість, що його потрібно вважати ні простим, ні складеним. Просте на перший погляд просте число таїть безліч нерозгаданих таємниць всередині себе.

Теорема Евкліда каже, що простих чисел нескінченна безліч, а Ератосфен придумав спеціальне арифметичне «решето», яке відсіває непрості числа, залишаючи тільки прості.

Її суть у тому щоб підкреслювати перший невикреслене число, а в подальшому викреслювати ті, які йому кратні. Багаторазово повторюємо цю процедуру – і отримуємо таблицю простих чисел.

Основна теорема арифметики

Серед спостережень про прості числа потрібно особливим чином згадати основну теорему арифметики.

Основна теорема арифметики свідчить, що будь-яке ціле число, більше 1, або є простим, або його можна розкласти на твір простих чисел з точністю до порядку проходження співмножників, причому єдиним чином.

Основна теорема арифметики доводиться досить громіздко, та й розуміння її вже не схоже на найпростіші основи.

На перший погляд прості числа – елементарне поняття, проте це не так. Фізика також колись вважала атом елементарним, поки не знайшла всередині нього цілий всесвіт. Простим числам присвячений прекрасне оповідання математика Дона Цагіра «Перші п`ятдесят мільйонів простих чисел».

Від «трьох яблучок» до дедуктивних законів

Що справді можна назвати армованим фундаментом всієї науки – це закони арифметики. Ще в дитинстві всі стикаються з арифметикою, вивчаючи кількість ніжок і ручок у ляльок, кількість кубиків, яблучок і т. Д. Так ми вивчаємо арифметику, яка далі переходить у більш складні правила.

Все наше життя знайомить нас з правилами арифметики, які стали для простої людини найбільш корисними з усього, що дає наука. Вивчення чисел – це "арифметика-малятко", яка знайомить людини зі світом чисел у вигляді чисел ще в ранньому дитинстві.

Вища арифметика – дедуктивна наука, яка вивчає закони арифметики. Більшість з них нам відомо, хоча, можливо, ми і не знаємо їхніх точних формулювань.

Закон додавання і множення

Два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені у вигляді суми a + b, яка також буде числом натуральним. Костьольна складання діють наступні закони:

• Комутативними, який говорить, що від перестановки доданків місцями сума не змінюється, або a + b = b + a.
• Асоціативний, який говорить, що сума не залежить від способу угруповання доданків місцями, або a + (b + c) = (a + b) + c.

Правила арифметики, такі, як додавання, – одні з елементарних, але їх використовують всі науки, не кажучи вже про повсякденне життя.

Два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені у творі a * b або a * b, яке також є числом натуральним. До твору застосовні самі комутативні і асоціативні закони, що і до додаванню:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Цікаво, що існує закон, який об`єднує додавання і множення, званий також розподільним, або дистрибутивним законом:

a (b + c) = ab + ac

Цей закон фактично вчить нас працювати з дужками, розкриваючи їх, тим самим ми можемо працювати вже з більш складними формулами. Це саме ті закони, які будуть вести нас по химерного і непростого світу алгебри.

Закон арифметичного порядку

Закон порядку людська логіка використовує кожен день, звіряючи годинник і вважаючи купюри. І, тим не менше, і його потрібно оформити у вигляді конкретних формулювань.

Якщо ми маємо два натуральних числа a і b, то можливі наступні варіанти:

• a одно b, або a = b;
• a менше b, або a lt; b;
• a більше b, або a> b.

З трьох варіантів справедливим може бути тільки один. Основний закон, який управляє порядком, каже: якщо a lt; b і b lt; c, то alt; c.

Існують також і закони, що зв`язують порядок з діями множення і додавання: якщо alt; b, то a + c lt; b + c і aclt; bc.

Закони арифметики вчать нас працювати з числами, знаками і дужками, перетворюючи все в струнку симфонію чисел.

Позиційні і непозиційні системи числення

Можна сказати, що числа – це математичний мову, від зручності якого залежить багато чого. Існує безліч систем числення, які, як і алфавіти різних мов, відрізняються між собою.

Розглянемо системи числення з точки зору впливу позиції на кількісне значення цифри на цій позиції. Так, наприклад, римська система є непозиционной, де кожне число кодується певним набором спеціальних символів: I / V / X / L / C / D / M. Вони рівні, відповідно, числам 1/5/10/50/100/500 / 1000. У такій системі цифра не змінює свого кількісного визначення залежно від того, на якій вона стоїть позиції: першої, другої і т. Д. Щоб отримати інші числа, потрібно скласти базові. Наприклад:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Більш звична для нас система числення з використанням арабських цифр є позиційною. У такій системі розряд числа визначає кількість цифр, наприклад, Трехразрядное числа: 333, 567 і т.д. Вага будь-якого розряду залежить від позиції, на якій знаходиться та чи інша цифра, наприклад цифра 8 на другій позиції має значення 80. Це характерно для десяткової системи, існують і інші позиційні системи, наприклад двійкова.

Двійкова арифметика

Нам знайома десяткова система числення, що складається з однорозрядних чисел і багаторозрядних. Цифра зліва у многоразрядного числа в десять разів більше за значимістю тієї, яка справа. Так, ми звикли читати 2, 17, 467 і т. Д. Абсолютно інша логіка й підхід у розділу, який носить назву "двійкова арифметика". Це й не дивно, адже двійкова арифметика створена не для людської логіки, а для комп`ютерної. Якщо арифметика чисел сталася від рахунку предметів, що надалі абстрагувалося від властивостей предмета до "голої" арифметиці, то з комп`ютером таке не пройде. Щоб можна було поділитися своїми знаннями з ЕОМ, людині довелося винайти таку модель обчислення.

Двійкова арифметика працює з двійковим алфавітом, який складається всього з 0 і 1. А використання цього алфавіту називається двійковою системою числення.

Відмінність двійковій арифметики від десяткової в тому, що значущість позиції зліва більше не в 10, а в 2 рази. Двійкові числа мають вигляд 111, 1001 і т. Д. Як розуміти такі числа? Отже, розглянемо число +1100:

1. Перша цифра зліва – 1 * 8 = 8, пам`ятаючи про те, що четверта цифра, а значить, її потрібно помножити на 2, отримуємо позицію 8.
2. Друга цифра 1 * 4 = 4 (позиція 4).
3. Третя цифра 0 * 2 = 0 (позиція 2).
4. Четверта цифра 0 * 1 = 0 (позиція 1).
5. Отже, наше число 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Тобто при переході на новий розряд зліва його значимість в двійковій системі множиться на 2, а в десятковій – на 10. Така система має один мінус: це занадто велике зростання розрядів, які необхідні для запису чисел. Приклади представлення десяткових чисел у вигляді двочіних можна подивитися в наступній таблиці.

Десяткові числа в двійковому вигляді зображені нижче.

Використовуються також і восьмерична, і шістнадцяткова системи числення.

Ця загадкова арифметика

Що таке арифметика, «двічі по два» або незвідані таємниці чисел? Як бачимо, арифметика, може, і здається на перший погляд простий, але її неочевидна легкість оманлива. Її можна вивчати і дітям разом з тітонькою Совою з мультика «Арифметика-малятко», а можна зануритися в глибоко наукові вишукування мало не філософського порядку. В історії вона пройшла шлях від рахунку предметів до поклоніння красі чисел. Одне тільки точно відомо: з встановленням основних постулатів арифметики вся наука може спиратися на її міцне плече.