У яких чвертях косинус позитивний? У яких чвертях синус і косинус позитивні?

Питання, що виникають при вивченні тригонометричних функцій, різноманітні. Деякі з них – про те, в яких чвертях косинус позитивний і негативний, в яких чвертях синус позитивний і негативний. Все виявляється просто, якщо знаєш, як обчислити значення даних функцій в різних кутах і знайомий з принципом побудови функцій на графіку.

Які значення косинуса

Якщо розглядати прямокутний трикутник, то ми маємо наступне співвідношення сторін, яке його визначає: косинусом кута а є ставлення прилеглого катета НД до гіпотенузі АВ (рис. 1): cos a = НД / АВ.

За допомогою цього ж трикутника можна знайти синус кута, тангенс і котангенс. Синусом буде співвідношення протилежної до кута катета АС до гіпотенузі АВ. Тангенс кута знаходиться, якщо синус шуканого кута розділити на косинус того ж угла- підставивши відповідні формули знаходження синуса і косинуса, отримаємо, що tg a = АС / НД Котангенс, як зворотна до тангенсу функція, буде знаходитися так: ctg a = НД / АС.

Тобто, при однакових значеннях кута виявилося, що в прямокутному трикутнику співвідношення сторін завжди однакове. Здавалося б, стало ясно, звідки ці значення, але чомусь виходять негативні числа?

Для цього потрібно розглядати трикутник в декартовій системі координат, де присутні як позитивні, так і негативні значення.

Наочно про чверті, де яка

Що таке декартові координати? Якщо говорити про двовимірному просторі, ми маємо дві спрямовані прямі, які перетинаються в точці О – це вісь абсцис (Ох) і вісь ординат (Оу). Від точки О в напрямку прямої розташовуються позитивні числа, а у зворотний бік – негативні. Від цього, зрештою, безпосередньо залежить, в яких чвертях косинус позитивний, а в яких, відповідно, негативний.

Перша чверть

Якщо розмістити прямокутний трикутник в першій чверті (від 0^про до 90^про), Де вісь х і у мають позитивні значення (відрізки АТ та ВО лежать на осях там, де значення мають знак "+"), то що синус, що косинус теж матимуть позитивні значення, і їм присвоєно значення зі знаком «плюс» . Але що відбувається, якщо перемістити трикутник в другу чверть (від 90^про до 180^про)?

Друга чверть

Бачимо, що по осі у катет АТ отримав негативне значення. Косинус кута a тепер має у співвідношенні цей бік з мінусом, тому і підсумкове його значення стає негативним. Виходить, що те, в якій чверті косинус позитивний, залежить від розміщення трикутника в системі декартових координат. І в цьому випадку косинус кута отримує негативне значення. А ось для синуса нічого не змінилося, бо для визначення його знака потрібна сторона ОВ, яка залишилася в даному випадку зі знаком плюс. Підіб`ємо підсумок по перших двох чвертях.

Щоб з`ясувати, в яких чвертях косинус позитивний, а в яких негативний (а також синус та інші тригонометричні функції), необхідно дивитися на те, який знак присвоєно того чи іншого катету. Для косинуса кута a важливий катет АТ, для синуса – ОВ.

Перша чверть поки що стала єдиною, яка відповідає на питання: «В яких чвертях синус і косинус позитивний одночасно?». Подивимося далі, чи будуть ще збіги за знаком цих двох функцій.

У другій чверті катет АТ став мати негативне значення, а значить і косинус став негативним. Для синуса збережено позитивне значення.

Третя чверть

Тепер обидва катета АТ і ОВ стали негативними. Згадаймо співвідношення для косинуса і синуса:

Cos a = АТ / АВ;

Sin a = ВО / АВ.

АВ завжди має позитивний знак в даній системі координат, оскільки не спрямована ні в одну з двох певних осями сторін. А ось катети стали негативними, а значить і результат для обох функцій теж негативний, адже якщо робити операції множення або ділення з числами, серед яких одне й тільки одне має знак «мінус», то результат теж буде з цим знаком.

Підсумок на даному етапі:

1) У якій чверті косинус позитивний? У першій з трьох.

2) В якій чверті синус позитивний? У першій і другій з трьох.

Четверта чверть (від 270^про до 360^про)

Тут катет АТ знову набуває знак «плюс», а значить і косинус теж.

Для синуса справи все ще «негативні», адже катет ОВ залишився нижче початкової точки О.

Висновки

Для того щоб розуміти, в яких чвертях косинус позитивний, негативний і т.д., потрібно запам`ятати співвідношення для обчислення косинуса: прилеглий до кута катет, поділений на гіпотенузу. Деякі вчителі пропонують запам`ятати так: к (осінус) = (к) кутку. Якщо запам`ятати цей «чит», то автоматично розумієш, що синус – це відношення протилежного до кута катета до гіпотенузи.

Запам`ятати, в яких чвертях косинус позитивний, а в яких негативний, досить складно. Тригонометричних функцій багато, і всі вони мають свої значення. Але все ж, як підсумок: позитивні значення для синуса – 1, 2 чверті (від 0^про до 180^про) - Для косинуса 1, 4 чверті (від 0^про до 90^про і від 270^про до 360^про). В інших чвертях функції мають значення з мінусом.

Можливо, комусь буде легше запам`ятати, де який знак, по зображенню функції.

Для синуса видно, що від нуля до 180^про гребінь знаходиться над лінією значень sin (x), значить і функція тут позитивна. Для косинуса так само: в якій чверті косинус позитивний (фото 7), а в який негативний видно по переміщенню лінії над і під віссю cos (x). Як підсумок, ми можемо запам`ятати два способи визначення знака функцій синус, косинус:

1. По уявному колі з радіусом рівним одиниці (хоча, насправді, не важливо, який радіус у кола, але в підручниках найчастіше призводять саме такий приклад- це полегшує сприйняття, але в той же час, якщо не обмовитися, що це не має значення, діти можуть заплутатися).

2. По зображенню залежності функції по (х) від самого аргументу х, як на останньому малюнку.

За допомогою першого способу можна ЗРОЗУМІТИ, від чого саме залежить знак, і ми докладно роз`яснили це вище. Малюнок 7, побудований за цими даними, якнайкраще візуалізує отриману функцію і її знакопрінадлежность.