Як знайти висоту трапеції?

У нашому житті дуже часто доводиться стикатися із застосуванням геометрії на практиці, наприклад, у будівництві. Серед найбільш часто зустрічаються геометричних фігур є і трапеція. І для того, щоб проект був успішним і красивим, необхідний правильний і точний розрахунок елементів для такої фігури.

Що собою являє трапеція? Це опуклий чотирикутник, який має пару паралельних сторін, іменованих підставами трапеції. Але є ще дві інші сторони, що з`єднують ці підстави. Їх називають бічними. Одне з питань, що стосується даної фігури, це: «Як знайти висоту трапеції?» Відразу необхідно звернути увагу, що висота - це відрізок, який визначає відстань від одного підстави до іншого. Існує кілька способів для визначення цієї відстані, залежно від відомих величин.

1. Відомі величини обох підстав, позначимо їх b і k, а так само площа даної трапеції. Використовуючи відомі величини, знайти висоту трапеції в цьому випадку дуже легко. Як відомо з геометрії, площа трапеції обчислюється, як добуток половини суми підстав і висоти. З цієї формули можна легко вивести шукану величину. Для цього необхідно площа розділити на половину суми підстав. У вигляді формул це буде виглядати так:

S = ((b + k) / 2) * h, звідси h = S / ((b + k) / 2) = 2 * S / (b + k)

2. Відома довжина середньої лінії, позначимо її d, і площа. Для тих, хто не знає, середньою лінією називаю відстань між серединами бічних сторін. Як знайти висоту трапеції в цьому випадку? Відповідно до властивості трапеції, середня лінія відповідає половині суми підстав, тобто d = (b + k) / 2. Знову ж вдаємося до формули площі. Замінивши половину суми підстав на величину середньої лінії, отримаємо наступне:

S = d * h

Як бачимо з отриманої формули дуже легко вивести висоту. Розділивши площа на величину середньої лінії, ми знайдемо шукану величину. Запишемо це формулою:

h = S / d

3. Відома довжина однієї бічної сторони (b) і кут, що утворюється між цією стороною і найбільшою підставою. Відповідь на питання, як знайти висоту трапеції, є і в цьому випадку. Розглянемо трапецію ABCD, де AB і CD є бічними сторонами, причому AB = b. Найбільшим підставою є AD. Кут, утворений AB і AD позначимо alpha-. З точки B опустимо висоту h на підставу AD. Тепер розглянемо отриманий трикутник ABF, який є прямокутним. Сторона AB є гіпотенузою, а BF-катетом. З властивості прямокутного трикутника відношення значення катета і значенням гіпотенузи відповідає синусу кута, протилежного катета (BF). Тому, виходячи з вищевикладеного, для обчислення висоти трапеції перемножуємо значення відомої сторони і синус кута alpha-. У вигляді формули це виглядає наступним чином:

h = b * sin (alpha-)

4. Аналогічно розглядається випадок, якщо відомі розмір бічної сторони і кут, позначимо його beta-, що утворюється між цією стороною і меншою підставою. При вирішенні такого завдання величина кута між відомою бічною стороною і проведеної висотою буде 90 ° - beta-. З властивості трикутників - відношення довжини катета і гіпотенузи відповідає косинусу кута, розташованого між ними. З цієї формули легко вивести величину висоти:

h = b * cos (beta - 90 °)

5. Як знайти висоту трапеції, якщо відомий лише радіус вписаного кола? З визначення кола, вона стосується однією точкою кожного підстави. Крім того, ці точки знаходяться на одній лінії з центром кола. З цього випливає, що відстань між ними є діаметром і, в той же час, висотою трапеції. Виглядає так:

h = 2 * r

6. Часто зустрічаються завдання, в яких необхідно знайти висоту рівнобедреної трапеції. Нагадаємо, що трапеція, що має рівні бічні сторони, називається рівнобедреної. Як знайти висоту рівнобедреної трапеції? При перпендикулярних диагоналях висота дорівнює половині суми підстав.

Але, що робити, якщо діагоналі не перпендикулярно? Розглянемо рівнобедрений трапецію ABCD. Згідно з її властивостям, підстави паралельні. З цього випливає, що кути при підставах також будуть рівні. Проведемо дві висоти BF і CM. Виходячи з вищесказаного, можна стверджувати, що трикутники ABF і DCM рівні, тобто AF = DM = (AD - BC) / 2 = (bk) / 2. Тепер, виходячи з умови задачі, визначимося з відомими величинами, а вже потім знаходимо висоту, враховуючи всі властивості рівнобедрений трапеції.