Теорема косинусів та її доказ
Кожен з нас багато годин просидів над вирішенням тієї чи іншої задачі з геометрії. Звичайно, виникає питання, навіщо взагалі потрібно вчити математику? Питання особливо актуальне для геометрії, знання якої якщо і прігождаются, то дуже рідко. Але у математики є призначення і для тих, хто не збирається ставати працівником точних наук. Вона змушує людину працювати і розвиватися.
Первісним призначенням математики була не наділення учнів знаннями про предмет. Вчителі ставили собі за мету навчити дітей мислити, міркувати, аналізувати й аргументувати. Саме це ми і знаходимо в геометрії з її численними аксіомами і теоремами, наслідками і доказами.
Теорема косинусів
Одночасно з тригонометричними функціями і нерівностями алгебри починають вивчати кути, їх значення і знаходження. Теорема косинусів є однією з перших формул, яка пов`язує в розумінні учня обидві сторони математичної науки.
Для знаходження сторони по двох інших і куту між ними застосовується теорема косинусів. Для трикутника з прямим кутом нам підійде і теорема Піфагора, але якщо говорити про довільної фігурі, то вона тут застосована бути не може.
Теорема косинусів виглядає наступним чином:
АС 2= АВ 2+ ВС 2- 2 * АВ * НД * cos<АВС
Квадрат одного боку дорівнює сумі двох інших сторін, взятих в квадраті, мінус їх твір, помножене на два і на косинус кута, ними утвореного.
Якщо подивитися більш уважно, то дана формула нагадує теорему Піфагора. Дійсно, якщо взяти кут між катетами рівним 90, то значення його косинуса буде 0. У результаті залишиться тільки сума квадратів сторін, що й відображає теорема Піфагора.
Теорема косинусів: Доказ
З даного виразу виводимо формулу АС 2 і отримуємо:
АС 2 = ВС 2 + АВ 2 - 2 * АВ * НД * cos <АВС
Таким чином, бачимо, що вираз відповідає наведеній вище формулі, що свідчить про її істинності. Можна сказати, що теорема косинусів доведена. Вона використовується для всіх видів трикутників.
Використання
Крім уроків з математики та фізики, дана теорема широко використовується в архітектурі та будівництві, для обчислення необхідних сторін і кутів. З її допомогою визначають необхідні розміри споруди і кількість матеріалів, які будуть потрібні для її зведення. Звичайно, більшість процесів, які раніше вимагали безпосереднього людського участі і знань, автоматизовані на сьогоднішній день. Існує величезна кількість програм, які дозволяють моделювати подібні проекти на комп`ютері. Їх програмування також здійснюється з урахуванням всіх математичних законів, властивостей і формул.
D
Паралельність прямої і площини Курс геометрії широкий, об'ємний і багатогранний: він включає в себе безліч різних тем, правил, теорем і корисних знань. Можна уявити, що все в нашому світі складається з простого, навіть найбільш складне. Точки, прямі, площини - все це є і у вашому…
Як знайти периметр трикутника? Як знайти периметр трикутника? Таким питанням задавався кожен з нас, навчаючись у школі. Спробуємо згадати все, що ми знаємо про цю дивовижну фігуру, а також відповісти на поставлене запитання.Відповідь на питання про те, як знайти периметр…
Теорія чисел: теорія і практика Існує кілька визначень поняття «теорія чисел». Одне з них свідчить, що це спеціальний розділ математики (або вищої арифметики), яка детально вивчає цілі числа і об'єкти, подібні з ними.Інше визначення уточнює, що цей розділ математики вивчає…
Цей дивовижний єгипетський трикутник Ка-ж-дий, хто уважно слухав у школі викладача геометрії, дуже добре знайомий з тим, що являє собою єгипетський трикутник. Від інших видів подібних геометричних фігур з кутом в 90 градусів він відрізняється особливим співвідношенням сторін. Коли…
Теорема Ферма та її роль у розвитку математики Теорема Ферма, її загадка і нескінченний пошук рішення займають в математиці багато в чому унікальне положення. Незважаючи на те, що просте і витончене рішення так і не було знайдено, це завдання послужила поштовхом для цілого ряду відкриттів в…
Як знайти площу прямокутного трикутника незвичайним способом На уроках геометрії в середній школі всім нам говорили про те, як знайти площу прямокутного трикутника. Проте в рамках шкільної програми ми отримуємо тільки найнеобхідніші знання і вчимося найбільш поширеним і стандартним способам обчислень. Чи…
Теорема Котельникова - теоретична база сучасних інформаційних технологій Мало знайдеться досягнень, так сильно вплинули на розвиток зв'язку та сучасних інформаційних технологій, як теорема Котельникова. За великим рахунком, цей учений прославив нашу країну не менше, ніж С.П. Корольов, або А.С. Попов. Можливо, що…
Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.Диференціалом функції називається твір похідної функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично дане поняття можна записати, як вираз: dy = y…
Прямокутний трикутник: поняття та властивості Рішення геометричних задач вимагає величезної кількості знань. Одним з основоположних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.Під цим поняттям мається на увазі геометрична фігура, що складається з трьох кутів і сторін, причому величина одного з…
Бісектриса кута трикутника Що таке бісектриса кута трикутника? На це питання у деяких людей з мови зривається відома приказка: "Це щур, що бігає по кутах і ділить кут навпіл ". Якщо відповідь має бути" з гумором ", то, можливо, він правильний. Але з наукової точки зору…
Перша ознака рівності трикутників. Другий і третій ознаки рівності трикутників Серед величезної кількості багатокутників, які по суті є замкнутою непересічною ламаною лінією, трикутник - це фігура з найменшою кількістю кутів. Іншими словами, це найпростіший багатокутник. Але, незважаючи на всю свою простоту, ця фігура таїть у…
Ким була доведена теорема Пуанкаре Анрі Пуанкаре - один з найвідоміших французьких учених усіх часів. За своє життя він встиг досягти багато чого. Крім того, що він зробив безліч відкриттів в самих різних областях знань, він також протягом багатьох років викладав у Сорбонні і був…
Що таке трикутник. Якими вони бувають Про те, що таке трикутник, квадрат, куб, нам розповідає наука геометрія. У сучасному світі її вивчають у школах всі без винятку. Також наукою, яка вивчає безпосередньо те, що таке трикутник і які у нього властивості, є тригонометрія. Вона досліджує…