Периметр трикутника: поняття, характеристика, способи визначення

Трикутник являє собою одну з фундаментальних геометричних фігур, що представляють собою три пересічних відрізка прямих. Ця фігура була відома ще вченим Стародавнього Єгипту, Стародавньої Греції та Стародавнього Китаю, які і вивели більшість формул і закономірностей, що використовуються вченими, інженерами та конструкторами досі.

До основних складових частин трикутника відносяться:

• Вершини - точки перетину відрізків.

• Сторони - пересічні відрізки прямих.

Виходячи з цих складових частин, формулюють такі поняття, як периметр трикутника, його площа, вписана і описана окружність. Ще зі школи відомо, що периметр трикутника являє собою числове вираження суми всіх трьох його сторін. У той же час формул для знаходження даної величини відомо безліч, в залежності від тих вихідних даних, які є у дослідника в тому чи іншому випадку.

1. Найпростіший спосіб знаходження периметра трикутника використовується в тому випадку, коли відомі числові значення всіх трьох його сторін (x, y, z), як наслідок:

P = x + y + z

2. Периметр рівностороннього трикутника можна знайти, якщо згадати, що у даної фігури всі сторони, втім, як і всі кути, рівні. Знаючи довжину цієї сторони, периметр рівностороннього трикутника можна визначити за формулою:

P = 3x

3. У рівнобедреного трикутника, на відміну від рівностороннього, тільки дві бічні сторони мають одне і те ж числове значення, тому в цьому випадку в загальному вигляді периметр буде знаходитися наступним чином:

P = 2x + y

4. Наступні способи необхідні в тих випадках, коли відомі числові значення не всіх сторін. Наприклад, якщо в дослідженні є дані про дві сторони, а також відомий кут між ними, то периметр трикутника може бути знайдений за допомогою визначення третьої сторони і відомого кута. У цьому випадку ця третя сторона буде знайдена за формулою:

z = 2x + 2y-2xycosbeta-

Виходячи з цього, периметр трикутника буде дорівнює:

P = x + y + 2x + (2y-2xycos beta-)

5. У тому випадку, коли спочатку дана довжина не більш ніж однієї сторони трикутника і відомі числові величини двох кутів прилеглих до неї, то периметр трикутника можна обчислити, спираючись на теорему синусів:

P = x + sinbeta- х / (sin (180 ° -beta-)) + singamma- x / (sin (180 ° -gamma-))

6. Бувають випадки, коли для знаходження периметра трикутника використовуються відомі параметри вписаною в нього кола. Дана формула також відома більшості ще зі шкільної лави:

P = 2S / r (S - площа кола, тоді як r - її радіус).

З усього вищенаведеного видно, що величина периметра трикутника може бути знайдена безліччю способів, виходячи з тих даних, якими володіє дослідник. Крім того, є ще кілька окремих випадків знаходження даної величини. Так, периметр є однією з найважливіших величин і характеристик прямокутного трикутника.

Як відомо, таким трикутником називають фігуру, дві сторони якої утворюють прямий кут. Периметр прямокутного трикутника знаходиться через числове вираження суми обох катетів і гіпотенузи. У тому випадку, якщо досліднику відомі дані тільки про дві сторони, що залишилася можна обчислити за допомогою знаменитої теореми Піфагора: z = (x2 + y2), якщо відомі обидва катета, або x = (z2 - y2), якщо відома гіпотенуза і катет.

У тому випадку, якщо відома довжина гіпотенузи і один з прилеглих у ній кутів, то дві інші сторони знаходяться за формулами: х = z sinbeta-, y = z cosbeta-. У цьому випадку периметр прямокутного трикутника буде дорівнює:

P = z (cosbeta- + sinbeta- +1)

Також окремим випадком є обчислення периметра правильного (або рівностороннього) трикутника, тобто такої фігури, у якої всі сторони і всі кути рівні. Обчислення периметра такого трикутника за відомою стороні ніякої проблеми не становить, однак, найчастіше досліднику відомі якісь інші дані. Так, якщо відомий радіус вписаного кола, периметр правильного трикутника знаходиться за формулою:

P = 6radic-3r

А якщо дана величина радіуса описаного кола, периметр правильного трикутника буде знайдений таким чином:

P = 3radic-3R

Формули потрібно запам`ятати, щоб успішно пріменть на практиці.