Діагональ равнобокой трапеції. Чому дорівнює середня лінія трапеції. Види трапецій. Трапеція - це ..

Трапеція - це окремий випадок чотирикутника, у якого одна пара сторін є паралельною. Термін «трапеція» стався від грецького слова tau-rho-? pi-epsilon-zeta-alpha-, що означає "стіл", "столик". У цій статті ми розглянемо види трапеції і її властивості. Крім того, розберемося, як розраховувати окремі елементи цієї геометричної фігури. Наприклад, діагональ равнобокой трапеції, середню лінію, площа тощо. Матеріал викладено в стилі елементарної популярної геометрії, т. Е. В легкодоступній формі.

Загальні відомості

Для початку давайте розберемося, що таке чотирикутник. Дана фігура є окремим випадком багатокутника, що містить чотири сторони і чотири вершини. Дві вершини чотирикутника, які не є сусідніми, називаються протилежними. Те ж можна сказати і про двох несуміжних сторонах. Основні види чотирикутників - це паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та дельтоид.

Отже, повернемося до трапеціям. Як ми вже говорили, у цієї фігури дві сторони є паралельними. Їх називають підставами. Дві інші (непаралельні) - бічні сторони. У матеріалах іспитів і різних контрольних робіт дуже часто можна зустріти завдання, пов`язані з трапеціями, вирішення яких часто вимагає від учня знань, не передбачених програмою. Шкільний курс геометрії знайомить учнів з властивостями кутів і діагоналей, а також середній лінії рівнобедрений трапеції. Але ж, крім цього, згадана геометрична фігура має й інші особливості. Але про них трохи пізніше ...

Види трапеції

Існує багато видів даної фігури. Однак найчастіше прийнято розглядати два з них - равнобедренную і прямокутну.

1. Прямокутна трапеція - це фігура, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна підставах. У неї два кути завжди рівні дев`яноста градусам.

2. рівнобедреного трапеція - це геометрична фігура, у якої бічні сторони рівні між собою. А значить, і кути у підстав також попарно рівні.

Головні принципи методики вивчення властивостей трапеції

До основного принципу можна віднести використання так званого задачного підходу. По суті, немає необхідності для введення в теоретичний курс геометрії нових властивостей цієї фігури. Їх можна відкривати і формулювати в процесі вирішення різних завдань (краще системних). При цьому дуже важливо, щоб викладач знав, які завдання необхідно поставити перед школярами в той чи інший момент навчального процесу. Більш того, кожна властивість трапеції може бути представлено у вигляді ключового завдання в системі завдань.

Другим принципом є так звана спіральна організація вивчення «чудових» властивостей трапеції. Це передбачає повернення в процесі навчання до окремих ознак даної геометричної фігури. Таким чином, учням легше їх запам`ятовувати. Наприклад, властивість чотирьох точок. Його можна доводити як при вивченні подібності, так і згодом за допомогою векторів. А равновелікость трикутників, прилеглих до бічних сторін фігури, можна доводити, застосовуючи не тільки властивості трикутників з рівними висотами, проведеними до сторін, які лежать на одній прямій, але і за допомогою формули S = 1/2 (ab * sinalpha-). Крім того, можна відпрацювати теорему синусів на вписаною трапеції або прямокутний трикутник на описаної трапеції і т. д.

Застосування «позапрограмних» особливостей геометричної фігури в змісті шкільного курсу - це Задачного технологія їх викладання. Постійне звернення до досліджуваним властивостями при проходженні інших тем дозволяє учням глибше пізнавати трапецію і забезпечує успішність вирішення поставлених завдань. Отже, приступимо до вивчення цієї чудової фігури.

Елементи й властивості рівнобедрений трапеції

Як ми вже відзначали, у даній геометричної фігури бічні сторони рівні. Ще вона відома як правильна трапеція. А чому ж вона так примітна і чому отримала таку назву? До особливостей даної фігури відноситься те, у неї є рівними не тільки бічні сторони і кути у підстав, але і діагоналі. Крім того, сума кутів рівнобедрений трапеції дорівнює 360 градусам. Але і це ще не все! З усіх відомих трапецій тільки навколо рівнобедреної можна описати коло. Це пов`язано з тим, що сума протилежних кутів у цієї фігури дорівнює 180 градусам, а тільки за такої умови можна описати коло навколо чотирикутника. Наступним властивістю розглянутої геометричної фігури є те, що відстань від вершини заснування до проекції противолежащей вершини на пряму, яка містить це підстава, дорівнюватиме середній лінії.

А тепер давайте розберемося, як знайти кути рівнобедреної трапеції. Розглянемо варіант вирішення цього завдання за умови, що відомі розміри сторін фігури.

Рішення

Зазвичай чотирикутник прийнято позначати літерами А, Б, С, Д, де БС і АТ - це підстави. У рівнобедрений трапеції бічні сторони рівні. Будемо вважати, що їх розмір дорівнює Х, а розміри підстав рівні Y і Z (меншого і більшого відповідно). Для проведення обчислення необхідно з кутка У провести висоту Н. У результаті вийшов прямокутний трикутник АБН, де АБ - гіпотенуза, а БН і АН - катети. Обчислюємо розмір катета АН: від більшого підстави віднімаємо меншу, і результат ділимо на 2. Запишемо у вигляді формули: (ZY) / 2 = F. Тепер для обчислення гострого кута трикутника скористаємося функцією cos. Отримуємо наступний запис: cos (beta-) = Х / F. Тепер обчислюємо кут: beta- = arcos (Х / F). Далі, знаючи один кут, ми можемо визначити і другий, для цього виробляємо елементарне арифметичну дію: 180 - beta-. Всі кути визначені.

Існує й друге рішення даної задачі. На початку опускаємо з кутка У висоту Н. Обчислюємо значення катета БН. Нам відомо, що квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Отримуємо: БН = radic- (Х2 F2). Далі використовуємо тригонометричну функцію tg. В результаті маємо: beta- = arctg (БТ / F). Гострий кут знайдений. Далі визначаємо тупий кут аналогічно першому способу.

Властивість діагоналей рівнобедрений трапеції

Спочатку запишемо чотири правила. Якщо діагоналі в рівнобедрений трапеції перпендикулярні, то:

- висота фігури дорівнюватиме сумі підстав, поділеній на два-

- її висота і середня лінія рівними

- площа трапеції буде дорівнює квадрату висоти (середній лінії, напівсумі підстав) -

- квадрат діагоналі дорівнює половині квадрата суми підстав або подвоєному квадрату середньої лінії (висоти).

Тепер розглянемо формули, що визначають діагональ равнобокой трапеції. Цей блок інформації можна умовно розділити на чотири частини:

1. Формула довжини діагоналі через її боку.

Приймаємо, що А - нижня основа, Б - верхнє, С - рівні бічні сторони, Д - діагональ. У такому випадку довжину можна визначити наступним чином:

Д = radic- (С2 + А * Б).

2. Формули довжини діагоналі по теоремі косинусів.

Приймаємо, що А - нижня основа, Б - верхнє, С - рівні бічні сторони, Д - діагональ, alpha- (у нижньої основи) і beta- (у верхнього підстави) - кути трапеції. Отримуємо наступні формули, за допомогою яких можна вирахувати довжину діагоналі:

- Д = radic- (А2 + С2-2А * С * cosalpha -) -

- Д = radic- (А2 + С2-2А * С * cosbeta -) -

- Д = radic- (В2 + С2-2В * С * cosbeta -) -

- Д = radic- (В2 + С2-2В * С * cosalpha-).

3. Формули довжини діагоналей рівнобедрений трапеції.

Приймаємо, що А - нижня основа, Б - верхнє, Д - діагональ, М - середня лінія, Н - висота, П - площа трапеції, alpha- і beta- - кути між діагоналями. Визначаємо довжину за такими формулами:

- Д = radic- (М2 + Н2) -

- Д = radic- (Н2 + (А + Б) 2/4) -

- Д = radic- (Н (А + Б) / sinalpha-) = radic- (2П / sinalpha-) = radic- (2М * Н / sinalpha-).

Для даного випадку справедливо рівність: sinalpha- = sinbeta-.

4. Формули довжини діагоналі через сторони і висоту.

Приймаємо, що А - нижня основа, Б - верхнє, С - бічні сторони, Д - діагональ, Н - висота, alpha- - кут при нижньому підставі.

Визначаємо довжину за такими формулами:

- Д = radic- (Н2 + (А-Р * ctgalpha-) 2) -

- Д = radic- (Н2 + (В + Р * ctgalpha-) 2) -

- Д = radic- (А2 + С2-2А * radic- (С2-Н2)).

Елементи й властивості прямокутної трапеції

Давайте розглянемо, чим же цікава дана геометрична фігура. Як ми вже говорили, у прямокутної трапеції два прямих кута.

Крім класичного визначення, існують і інші. Наприклад, прямокутна трапеція - це трапеція, у якої одна сторона перпендикулярна підставах. Або фігура, що має при бічній стороні прямі кути. У даного виду трапецій висота дорівнює бічній стороні, яка перпендикулярна підставах. Середня лінія - це відрізок, що з`єднує середини двох бічних сторін. Властивість згаданого елемента полягає в тому, що він паралельний підставах і дорівнює половині їх суми.

Тепер давайте розглянемо основні формули, що визначають цю геометричну фігуру. Для цього приймаємо, що А і Б - підстави- С (перпендикулярна підставах) і Д - сторони прямокутної трапеції, М - середня лінія, alpha- - гострий кут, П - площа.

1. Бічна сторона, перпендикулярна підставах, дорівнює висоті фігури (С = Н), і дорівнює добутку довжини другої бічної сторони Д і синуса кута alpha- при більшому підставі (С = Д * sinalpha-). Крім того, вона дорівнює добутку тангенса гострого кута alpha- і різниці підстав: С = (А-Б) * tgalpha-.

2. Бічна сторона Д (не перпендикулярно підставах) дорівнює приватному різниці А і Б і косинуса (alpha-) гострого кута або приватному висоти фігури Н і синуса гострого кута: Д = (А-Б) / cos alpha- = С / sinalpha-.

3. Бічна сторона, яка перпендикулярна підставах, дорівнює квадратному кореню з різниці квадрата Д - другий бічної сторони - і квадрата різниці підстав:

С = radic- (Д2- (А-Б) 2).

4. Сторона Д прямокутної трапеції дорівнює квадратному кореню з суми квадрата сторони С і квадрата різниці підстав геометричної фігури: Д = radic- (С2 + (А-Б) 2).

5. Бічна сторона С дорівнює приватному від розподілу подвійний площі на суму її підстав: С = П / М = 2П / (А + Б).

6. Площа визначається твором М (середня лінія прямокутної трапеції) на висоту або бічну сторону, перпендикулярну підстав: П = М * Н = М * С.

7. Сторона С дорівнює приватному від розподілу подвоєною площі фігури на твір синуса гострого кута і суми її підстав: С = П / М * sinalpha- = 2П / ((А + Б) * sinalpha-).

8. Формули бічної сторони прямокутної трапеції через її діагоналі і кут між ними:

- sinalpha- = sinbeta--

- С = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * sinalpha- = (Д1 * Д2 / (А + Б)) * sinbeta-,

де Д1 і Д2 - діагоналі трапеціі- alpha- і beta- - кути між ними.

9. Формули бічної сторони через кут при нижньому підставі й інші сторони: Д = (А-Б) / cosalpha- = С / sinalpha- = Н / sinalpha-.

Так як трапеція з прямим кутом є окремим випадком трапеції, то інші формули, що визначають ці фігури, будуть відповідати і прямокутної.

Властивості вписаного кола

Якщо в умові сказано, що в прямокутну трапецію вписане коло, то можна використовувати такі властивості:

- сума підстав дорівнює сумі бічних сторін-

- відстані від вершини прямокутної фігури до точок дотику вписаного кола завжди рівними

- висота трапеції дорівнює бічній стороні, перпендикулярно підставах, і дорівнює діаметру окружності-

- центр кола є точкою, в якій перетинаються бісектриси углов-

- якщо бічна сторона ділиться точкою дотику на відрізки Н і М, тоді радіус кола дорівнює квадратному кореню твори цих отрезков-

- чотирикутник, який утворився точками дотику, вершиною трапеції і центром вписаного кола - це квадрат, у якого сторона дорівнює радіусу-

- площа фігури дорівнює добутку підстав і твору напівсуми підстав на її висоту.

Подібні трапеції

Дана тема вельми зручна для вивчення властивостей цієї геометричної фігури. Наприклад, діагоналі розбивають трапецію на чотири трикутники, причому прилеглі до підстав є подібними, а до бічних сторін - рівновеликими. Це твердження можна назвати властивістю трикутників, на які розбита трапеція її діагоналями. Перша частина цього твердження доводиться через ознаку подібності по двох кутах. Для доказу другої частини краще скористатися способом, наведеним нижче.

Доказ теореми

Приймаємо, що фігура АБСД (АТ і БС - основи трапеції) розбивається діагоналями ВД і АС. Точка їх перетину - О. Отримуємо чотири трикутники: АОС - у нижньої основи, БОС - у верхнього підстави, АБО і СОД у бічних сторін. Трикутники СОД і БОС мають загальну висоту в тому випадку, якщо відрізки БО і ОД є їх підставами. Отримуємо, що різниця їх площ (П) дорівнює різниці цих відрізків: ПБОС / ПСОД = БО / ОД = К. Отже, ПСОД = ПБОС / К. Аналогічно, трикутники БОС і Аоб мають загальну висоту. Приймаємо за їх підстави відрізки СО і ОА. Отримуємо ПБОС / ПАОБ = СО / ОА = К і ПАОБ = ПБОС / К. З цього випливає, що ПСОД = ПАОБ.

Для закріплення матеріалу учням рекомендується знайти зв`язок між площами отриманих трикутників, на які розбита трапеція її діагоналями, вирішивши наступне завдання. Відомо, що у трикутників БОС і Егуд площі рівні, необхідно знайти площу трапеції. Так як ПСОД = ПАОБ, значить, ПАБСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. З подоби трикутників БОС і Егуд випливає, що БО / ОД = radic- (ПБОС / ПАОД). Отже, ПБОС / ПСОД = БО / ОД = radic- (ПБОС / ПАОД). Отримуємо ПСОД = radic- (ПБОС * ПАОД). Тоді ПАБСД = ПБОС + ПАОД + 2 * radic- (ПБОС * ПАОД) = (radic-ПБОС + radic-ПАОД) 2.

Властивості подоби

Продовжуючи розвивати цю тему, можна доводити і інші цікаві особливості трапецій. Так, за допомогою подібності можна довести властивість відрізка, який проходить через точку, утворену перетином діагоналей цієї геометричної фігури, паралельно підстав. Для цього вирішимо таку задачу: необхідно знайти довжину відрізка РК, який проходить через точку О. З подоби трикутників Егуд і БОС випливає, що АТ / ОС = АТ / БС. З подоби трикутників АОР і АСБ випливає, що АТ / АС = РВ / БС = АТ / (БС + АТ). Звідси отримуємо, що РВ = БС * АД / (БС + АТ). Аналогічно з подоби трикутників ДОК і ДБС випливає, що ОК = БС * АД / (БС + АТ). Звідси отримуємо, що РВ = ОК і РК = 2 * БС * АД / (БС + АТ). Відрізок, що проходить через точку перетину діагоналей, паралельний підставах і з`єднує дві бічні сторони, ділиться точкою перетину навпіл. Його довжина - це середнє гармонійне підстав фігури.

Розглянемо наступне якість трапеції, яке називають властивістю чотирьох точок. Точки перетину діагоналей (О), перетину продовження бічних сторін (Е), а також середини підстав (Т і Ж) завжди лежать на одній лінії. Це легко доводиться методом подоби. Отримані трикутники БІС і АЕД подібні, і в кожному з них медіани ЕТ і ЕЖ ділять кут при вершині Е на рівні частини. Отже, точки Е, Т і Ж лежать на одній прямій. Точно так же на одній прямій розташовуються точки Т, О, та Ж. Все це випливає з подібності трикутників БОС і Егуд. Звідси робимо висновок, що всі чотири точки - Е, Т, О і Ж - будуть лежати на одній прямій.

Використовуючи подібні трапеції, можна запропонувати учням знайти довжину відрізка (ЛФ), який розбиває фігуру на дві подібні. Даний відрізок повинен бути паралельний підстав. Так як отримані трапеції АЛФД і ЛБСФ подібні, то БС / ЛФ = ЛФ / АТ. Звідси випливає, що ЛФ = radic- (БС * АТ). Отримуємо, що відрізок, який розбиває трапецію на дві подібні, має довжину, рівну середньому геометричному довжин підстав фігури.

Розглянемо наступне властивість подібності. У його основі лежить відрізок, який ділить трапецію на дві рівновеликі фігури. Приймаємо, що трапеція АБСД розділена відрізком ЄП на дві подібні. З вершини Б опущена висота, яка розбивається відрізком ЄП на дві частини - В1 і В2. Отримуємо: ПАБСД / 2 = (БС + ЄП) * В1 / 2 = (АТ + ЄП) * В2 / 2 і ПАБСД = (БС + АТ) * (В1 + В2) / 2. Далі складаємо систему, перше рівняння якої (БС + ЄП) * В1 = (АТ + ЄП) * В2 і друге (БС + ЄП) * В1 = (БС + АТ) * (В1 + В2) / 2. Звідси випливає, що В2 / В1 = (БС + ЄП) / (АД + ЄП) і БС + ЄП = ((БС + АД) / 2) * (1 + В2 / В1). Отримуємо, що довжина відрізка, що ділить трапецію на дві рівновеликі, дорівнює середньому квадратичному довжин підстав: radic - ((БС2 + АД2) / 2).

Висновки подібності

Таким чином, ми довели, що:

1. Відрізок, що сполучає у трапеції середини бічних сторін, паралельний АТ і БС і дорівнює середньому арифметичному БС і АТ (довжина підстави трапеції).

2. Чорта, через точку Про перетину діагоналей паралельно АТ і БС, буде дорівнює середньому гармонійному чисел АТ і БС (2 * БС * АД / (БС + АТ)).

3. Відрізок, який розбиває трапецію на подібні, має довжину середнього геометричного підстав БС і АТ.

4. Елемент, який ділив фігуру на дві рівновеликі, має довжину середнього квадратичного чисел АТ і БС.

Для закріплення матеріалу та усвідомлення зв`язку між розглянутими відрізками учню необхідно побудувати їх для конкретної трапеції. Він без зусиль зможе відобразити середню лінію і відрізок, який проходить через точку О - перетин діагоналей фігури - паралельно підстав. А ось де будуть перебувати третій і четвертий? Ця відповідь призведе учня до відкриття шуканої зв`язку між середніми величинами.

Відрізок, що сполучає середини діагоналей трапеції

Розглянемо наступне властивість цієї фігури. Приймаємо, що відрізок МН паралельний підставах і ділить діагоналі навпіл. Точки перетину назвемо Ш і Щ. Даний відрізок буде дорівнює полуразность підстав. Розберемо це більш детально. МШ - середня лінія трикутника АБС, вона дорівнює БС / 2. МЩ - середня лінія трикутника АБД, вона дорівнює АД / 2. Тоді отримуємо, що ШЩ = МЩ-МШ, отже, ШЩ = АТ / 2-БС / 2 = (АТ + ВС) / 2.

Центр ваги

Давайте розглянемо, яким чином визначається цей елемент для даної геометричної фігури. Для цього необхідно продовжити заснування в протилежні сторони. Що це означає? Потрібно до верхнього підстави додати нижнє - в будь-яку зі сторін, наприклад, вправо. А нижня продовжуємо на довжину верхнього вліво. Далі з`єднуємо їх діагоналлю. Точка перетину цього відрізка з середньою лінією фігури і є центр тяжіння трапеції.

Вписані та описані трапеції

Давайте перерахуємо особливості таких фігур:

1. Трапеція може бути вписана в коло тольков тому випадку, якщо вона рівнобедрена.

2. Близько окружності можна описати трапецію, за умови, що сума довжин їх підстав дорівнює сумі довжин бічних сторін.

Слідства вписаного кола:

1. Висота описаної трапеції завжди дорівнює двом радіусам.

2. Бічна сторона описаної трапеції спостерігається з центру кола під прямим кутом.

Перше наслідок очевидно, а для доказу другого потрібно встановити, що кут СОД є прямим, що, по суті, також не складе великих труднощів. Зате знання даної властивості дозволить при вирішенні завдань застосовувати прямокутний трикутник.

Тепер конкретизуємо ці слідства для рівнобедрений трапеції, яка вписана в коло. Отримуємо, що висота є середнім геометричним підстав фігури: Н = 2R = radic- (БС * АТ). Відпрацьовуючи основний прийом вирішення завдань для трапецій (принцип проведення двох висот), учень повинен вирішити наступне завдання. Приймаємо, що БТ - висота рівнобедреної фігури АБСД. Необхідно знайти відрізки АТ і ТД. Застосовуючи формулу, описану вище, це буде зробити не складно.

Тепер давайте розберемося, як визначити радіус кола, використовуючи площа описаної трапеції. Опускаємо з вершини Б висоту на підставу АД. Так як окружність вписана в трапецію, то БС + АТ = 2АБ або АБ = (БС + АД) / 2. З трикутника АБН знаходимо sinalpha- = БН / АБ = 2 * БН / (БС + АТ). ПАБСД = (БС + АТ) * БН / 2, БН = 2R. Отримуємо ПАБСД = (БС + АТ) * R, звідси випливає, що R = ПАБСД / (БС + АТ).

.

Всі формули середньої лінії трапеції

Тепер пора перейти до останнього елемента даної геометричної фігури. Розберемося, чому дорівнює середня лінія трапеції (М):

1. Через заснування: М = (А + Б) / 2.

2. Через висоту, підстава і кути:

• М = А-Н * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2-

• М = Б + Н * (ctgalpha- + ctgbeta -) / 2.

3. Через висоту, діагоналі і кут між ними. Наприклад, Д1 і Д2 - діагоналі трапеціі- alpha-, beta- - кути між ними:

М = Д1 * Д2 * sinalpha- / 2Н = Д1 * Д2 * sinbeta- / 2Н.

4. Через площу і висоту: М = П / Н.