Площа рівностороннього трикутника

Серед геометричних фігур, які розглядаються в розділі геометрія, найбільш часто доводиться стикатися при вирішенні тих чи інших завдань з трикутником. Він являє собою геометричну фігуру, утворену трьома прямими. Вони в одній точці не перетинаються і не є паралельними. Можна дати інше визначення: трикутник являє собою ламану замкнуту лінію, що складається з трьох ланок, де її початок і кінець з`єднуються в одній точці. Якщо всі три сторони мають рівну величину, то це правильний трикутник, або, як кажуть, рівносторонній.

Як же визначити площа рівностороннього трикутника? Для вирішення подібних завдань необхідно знати деякі властивості цієї геометричної фігури. По-перше, у даного виду трикутника всі кути рівні. По-друге, висота, яка опускається з вершини на основу, є одночасно і медіаною, і висотою. Це говорить про те, що висота ділить вершину трикутника на два рівних кута, а протилежну сторону - на два рівних відрізка. Так як рівносторонній трикутник складається з двох прямокутних трикутників, то при визначенні шуканої величини необхідно використовувати теорему Піфагора.

Розрахунок площі трикутника можна зробити різними способами, залежно від відомих величин.

1. Розглянемо рівносторонній трикутник з відомими стороною b і висотою h. Площа трикутника в цьому випадку буде дорівнює одній другій твори сторони і висоти. У вигляді формули це буде виглядати так:

S = 1/2 * h * b

Говорячи словами, площа рівностороннього трикутника дорівнює одній другій твори його боку і висоти.

2. Якщо відома тільки величина боку, то перш, ніж шукати площу, необхідно обчислити його висоту. Для цього розглянемо половину трикутника, в якому висота буде одним з катетів, гіпотенуза - це сторона трикутника, а другий катет - половина сторони трикутника згідно з його властивостями. Все з тієї ж теореми Піфагора визначимо висоту трикутника. Як з неї відомо, квадрат гіпотенузи відповідає сумі квадратів катетів. Якщо розглядати половину трикутника, то в даному випадку сторона є гіпотенузою, половина боку - одним катетом, а висота - другий.

(B / 2) sup2- + h2 = bsup2-, звідси

hsup2- = bsup2 - (b / 2) sup2-. Приведемо до спільного знаменника:

hsup2- = 3bsup2- / 4,

h = radic-3bsup2- / 4,

h = b / 2radic-3.

Як бачимо, висота розглянутої фігури дорівнює добутку половини його боку і кореня з трьох.

Підставами в формулу і побачимо: S = 1/2 * b * b / 2radic-3 = bsup2- / 4radic-3.

Тобто, площа рівностороннього трикутника дорівнює добутку четвертої частини квадрата сторони і кореня з трьох.

3. Є й такі завдання, де необхідно визначити площу рівностороннього трикутника при відомій висоті. І це виявляється простіше простого. Ми вже вивели в попередньому випадку, що hsup2- = 3 bsup2- / 4. Далі необхідно звідси вивести сторону і підставити у формулу площі. Виглядати це буде так:

bsup2- = 4/3 * hsup2-, звідси b = 2h / radic-3. Підставивши в формулу, за якою знаходиться площа, отримаємо:

S = 1/2 * h * 2h / radic-3, звідси S = hsup2- / radic-3.

Мають місце завдання, коли необхідно знайти площу рівностороннього трикутника за радіусом вписаного або описаного кола. Для цього розрахунку також існують певні формули, які виглядають наступним чином: r = radic-3 * b / 6, R = radic-3 * b / 3.

Діємо вже по знайомому нам принципом. При відомому радіусі, виводимо з формули сторону і обчислюємо її, підставивши відому величину радіуса. Отримане значення підставляємо у вже відому формулу для розрахунку площі правильного трикутника, проводимо арифметичні обчислення і знаходимо шукану величину.

Як бачимо, для того, щоб вирішити аналогічні завдання, необхідно знати не тільки властивості правильного трикутника, а й теорему Піфагора, і радіус описаної і вписаного кола. Для володіють цими знаннями рішення подібних завдань не буде представляти особливих труднощів.