Екстремуми функції - простою мовою про складне
Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов`язково знати про наявність першої та другої похідної і розуміти їх фізичний зміст. Для початку потрібно усвідомити таке:
- екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення функції в як завгодно малої окрестності;
- в точці екстремуму не повинно бути розриву функції.
А тепер те ж саме, тільки простою мовою. Подивіться на кінчик стрижня кулькової ручки. Якщо ручку розташувати вертикально, пишучим кінцем вгору, то сама середина кульки буде екстремумів - найвищою точкою. У цьому випадку говорять про максимум. Тепер, якщо повернути ручку пишучим кінцем вниз, то на серединці кульки вже буде мінімум функції. За допомогою малюнка, наведеного тут же, можна уявити перераховані маніпуляції для канцелярського олівця. Отже, екстремуми функції - це завжди критичні точки: її максимуми або мінімуми. Прилеглу ділянку графіка може бути як завгодно гострим або плавним, але він повинен існувати з обох сторін, тільки в цьому випадку точка є екстремумів. Якщо графік присутній лише з одного боку, точка ця екстремумів бути не буде навіть у тому випадку, якщо з одного її боку умови екстремуму виконуються. Тепер вивчимо екстремуми функції з наукової точки зору. Щоб точка могла вважатися екстремумів, необхідно і достатньо, щоб:
- перша похідна дорівнювала нулю або не існувала в точке;
- перша похідна змінювала свій знак в цій точці.
Умова трактується дещо інакше з точки зору похідних більш високого порядку: для функції, що диференціюється в точці, достатньо, щоб існувала похідна непарного порядку, нерівна нулю, при тому, що всі похідні більш нижчого порядку повинні існувати і бути рівними нулю. Це максимально просте тлумачення теорем з підручників вищої математики. Але для самих звичайних людей варто пояснити цей момент прикладом. За основу береться звичайна парабола. Відразу обмовимося, в нульовій точці у неї є мінімум. Зовсім небагато математики:
- перша похідна (X2)| = 2X, для нульової точки 2Х = 0;
- друга похідна (2Х)| = 2, для нульової точки 2 = 2.
Таким нехитрим чином проілюстровані умови, що визначають екстремуми функції і для похідних першого порядку, і для похідних вищого порядку. Можна до цього додати, що друга похідна якраз є тією самою похідною непарного порядку, нерівної нулю, про яку йшлося трохи вище. Коли мова заходить про екстремуми функції двох змінних, то умови повинні виконуватися для обох аргументів. Коли відбувається узагальнення, то в хід йдуть приватні похідні. Тобто необхідно для наявності екстремуму в точці, щоб обидві похідні першого порядку дорівнювали нулю, або хоча б одна з них не існувала. Для достатності наявності екстремуму досліджується вираз, що представляє собою різницю твори похідних другого порядку і квадрата змішаної похідної другого порядку функції. Якщо цей вислів більше нуля, значить, екстремум має місце бути, а якщо присутній рівність нулю, то питання залишається відкритим, і потрібно проводити додаткові дослідження.
Дослідження функції для початківців Функцією з деякою областю позначення називається відповідність, при якому кожному числу x з певної множини ставиться у відповідність деякий повністю певне число y.Зазвичай функції позначають латинськими буквами. Розглянемо будь-який приклад f. Число…
Силові лінії електричного поля. Введення Розрізняють поля скалярні і векторні (у нашому випадку векторним полем буде електричне). Відповідно, вони моделюються скалярними або векторними функціями координат, а також часом.Скалярний поле описується функцією виду phi-. Такі поля можна наочно…
Повне дослідження функції та диференціальне числення Отримавши великі знання в роботі з функціями, ми озброїлися достатнім набором інструменту, який дозволяє провести повне дослідження конкретно заданої математично закономірності у вигляді формули (функції). Звичайно, можна було б піти найбільш…
Парність функції Парність і непарність функції є одним з основних її властивостей, і дослідження функції на парність займає значну частину шкільного курсу з математики. Вона у багато визначає характер поведінки функції і значно полегшує побудову відповідного…
Безперервна функція Безперервна функція являє собою функцію без «стрибків», тобто таку, для якої виконується умова: малих змін аргументу слідують малі зміни відповідних значень функції. Графік подібної функції представляє з себе плавну або безперервну…
Потенціал електричного поля, зв'язок між напруженістю і потенціалом Розглянемо зв'язок напруженості і потенціалу в електричному полі. Припустимо, у нас є якесь позитивно заряджене тіло. Це тіло оточене електричним полем. Перенесемо в це поле позитивний заряд, при перенесенні якого буде відбуватися робота. Величина…
Визначення, графік і властивості функції: структура курсу математичного аналізу в школі Вперше з поняттям функції учні освітніх шкіл зазвичай зустрічаються в 7 класі, коли приступають до вивчення курсу алгебри як окремого напрямку математики. Починається вивчення функцій, як правило, без введення складних визначень і термінів, що…
Що таке інтеграл, і який його фізичний зміст Виникнення поняття інтеграла було обумовлено необхідністю знаходження первісної функції по її похідної, а також визначення величини роботи, площі складних фігур, відстані пройденого шляху, при параметрах, окреслених кривими, описаними нелінійними…
Основні правила диференціювання, застосовувані в математиці Для початку варто згадати про те, що таке диференціал і який математичний сенс він несе.Диференціалом функції називається твір похідної функції від аргументу на диференціал самого аргументу. Математично дане поняття можна записати, як вираз: dy = y…
Ряд Маклорена і розкладання деяких функцій Вивчають вищу математику повинно бути відомо, що сумою якогось статечного ряду, що належить інтервалу збіжності даного нам ряду, виявляється безперервне і безмежне число разів диференційована функція. Виникає питання: чи можна стверджувати, що…
Корені квадратного рівняння: алгебраїчний і геометричний зміст В алгебрі квадратним називається рівняння другого порядку. Під рівнянням увазі математичне вираження, що має в своєму складі одну або декілька невідомих. Рівняння другого порядку - це математичне рівняння, що має хоча б одну невідому в ступені…
Що таке центральна симетрія? Поняття «центральна симетрія» фігури передбачає існування певної точки - центру симетрії. По обидві сторони від нього розташовуються точки, що належать цій фігурі. Кожна з них має симетричну собі.Слід сказати, що поняття про центр відсутня в…
Нелінійне програмування - одна зі складових математичного програмування Нелінійне програмування є частиною математичного програмування, в якому нелінійна функція представлена певними обмеженнями або цільовою функцією. Основним завданням нелінійного програмування є знаходження оптимального значення заданої цільової…