Віднімання дробів з різними знаменниками. Додавання і віднімання звичайних дробів

Однією з найважливіших наук, застосування якої можна побачити в таких дисциплінах, як хімія, фізика і навіть біологія, є математика. Вивчення цієї науки дозволяє розвинути деякі розумові якості, поліпшити абстрактне мислення і здатність концентруватися. Одна з тем, які заслуговують окремої уваги в курсі «Математика» - додавання і віднімання дробів. У багатьох учнів її вивчення викликає утруднення. Можливо, наша стаття допоможе краще зрозуміти цю тему.

Як відняти дроби, знаменники яких однакові

Дробу - це ті ж числа, з якими можна проводити різні дії. Їх відмінність від цілих чисел полягає у присутності знаменника. Саме тому при виконанні дій з дробами потрібно вивчити деякі їхні особливості і правила. Найбільш простим випадком є віднімання звичайних дробів, знаменники яких представлені у вигляді однакового числа. Виконати цю дію не складе особливих труднощів, якщо знати просте правило:

• Для того щоб з однієї дробу відняти друге, необхідно з чисельника зменшує дробу відняти чисельник віднімається дробу. Це число записуємо в чисельник різниці, а знаменник залишаємо той же: k / m - b / m = (kb) / m.

Приклади віднімання дробів, знаменники яких однакові

Розглянемо, як це виглядає на прикладі:

7/19 - 3/19 = (7 - 3) / 19 = 4/19.

Від чисельника зменшує дробу «7» віднімаємо чисельник віднімається дробу «3», отримуємо «4». Це число ми записуємо в чисельник відповіді, а в знаменник ставимо те ж число, що було в знаменниках першої та другої дробу - «19».

На картинці нижче наведено ще кілька подібних прикладів.

Розглянемо більш складний приклад, де вироблено віднімання дробів з однаковими знаменниками:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7) / 47 = 9/47.

Від чисельника зменшує дробу «29» відніманням по черзі числители всіх наступних дробів - «3», «8», «2», «7». У підсумку отримуємо результат «9», який записуємо в чисельник відповіді, а в знаменник записуємо те число, яке знаходиться в знаменниках всіх цих дробів, - «47».

Додавання дробів, мають однаковий знаменник

Додавання і віднімання звичайних дробів здійснюється по одному і тому ж принципу.

• Для того щоб скласти дробу, знаменники яких однакові, необхідно числители скласти. Отримане число - чисельник суми, а знаменник залишиться той же: k / m + b / m = (k + b) / m.

Розглянемо, як це виглядає на прикладі:

1/4 + 2/4 = 3/4.

До чисельника першого складовою дробу - «1» - додаємо чисельник другого складовою дробу - «2». Результат - «3» - записуємо в чисельник суми, а знаменник залишаємо той же, що був присутній у дробах, - «4».

Дробу з різними знаменниками і їх віднімання

Дію з дробом, які мають однаковий знаменник, ми вже розглянули. Як бачимо, знаючи прості правила, вирішити подібні приклади досить легко. Але що робити, якщо необхідно провести дію з дробом, які мають різні знаменники? Багато учні середніх шкіл приходять в утруднення перед такими прикладами. Але й тут, якщо знати принцип рішення, приклади вже не будуть представляти для вас складності. Тут також існує правило, без якого рішення подібних дробів просто неможливо.

• Щоб справити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно їх привести до однакового найменшому знаменника.

Про те, як це зробити, ми поговоримо докладніше.

Властивість дробу

Для того щоб декілька дробів привести до однакового знаменника, потрібно використовувати у вирішенні головна властивість дробу: після поділу або множення чисельника і знаменника на однакове число вийде дріб, що дорівнює даної.

Так, наприклад, дріб 2/3 може мати такі знаменники, як «6», «9», «12» і т. Д., Тобто вона може мати вигляд будь-якого числа, яке кратно «3». Після того як чисельник і знаменник ми помножимо на «2», вийде дріб 4/6. Після того як чисельник і знаменник вихідної дробу ми помножимо на «3», отримаємо 6/9, а якщо аналогічну дію провести з цифрою «4», отримаємо 8/12. Одним рівністю це можна записати так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 ...

Як навести кілька дробів до одного і того ж знаменника

Розглянемо, як навести кілька дробів до одного і того ж знаменника. Для прикладу візьмемо дробу, наведені на зображенні нижче. Для початку необхідно визначити, яке число може стати знаменником для їх усіх. Для полегшення розкладемо наявні знаменники на множники.

Знаменник дробу 1/2 і дробу 2/3 на множники розкласти можна. Знаменник 7/9 має два множники 7/9 = 7 / (3 х 3), знаменник дробу 5/6 = 5 / (2 х 3). Тепер необхідно визначити, які ж множники будуть найменшими для всіх цих чотирьох дробів. Так як у першій дробу в знаменнику є число «2», значить, воно повинно бути присутнім у всіх знаменниках, в дроби 7/9 присутні дві трійки, значить, вони також обидві повинні бути присутніми в знаменнику. Враховуючи вищесказане, визначаємо, що знаменник складається з трьох множників: 3, 2, 3 і дорівнює 3 х 2 х 3 = 18.

Розглянемо перший дріб - 1/2. В її знаменнику є «2», але немає жодної цифри «3», а має бути дві. Для цього ми знаменник множимо на дві трійки, але, відповідно до властивості дробу, ми і чисельник повинні помножити на дві трійки:
1/2 = (1 х 3 х 3) / (2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогічно проводимо дії з рештою дробом.

• 2/3 - в знаменнику не вистачає однієї трійки і однієї двійки:
  2/3 = (2 х 3 х 2) / (3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 або 7 / (3 х 3) - в знаменнику не вистачає двійки:
  7/9 = (7 х 2) / (9 х 2) = 14/18.
• 5/6 або 5 / (2 х 3) - в знаменнику не вистачає трійки:
  5/6 = (5 х 3) / (6 х 3) = 15/18.

Всі разом це виглядає так:

Як відняти і скласти дробу, що мають різні знаменники

Як вже говорилося вище, для того щоб провести додавання або віднімання дробів, що мають різні знаменники, їх необхідно привести до одного знаменника, а далі скористатися правилами віднімання дробів, що мають однаковий знаменник, про який вже розповідалося.

Розглянемо це на прикладі: 4/18 - 3/15.

Знаходимо кратне чисел 18 і 15:

• Число 18 складається з 3 х 2 х 3.
• Число 15 складається з 5 х 3.
• Спільне кратне складатиметься з наступних множників 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

Після того як знаменник буде знайдений, необхідно обчислити множник, який буде відмінним для кожного дробу, тобто те число, на яке необхідно буде помножити не тільки знаменник, а й чисельник. Для цього число, яке ми знайшли (спільне кратне), ділимо на знаменник тієї дробу, у якої потрібно визначити додаткові множники.

• 90 поділити на 15. Отримане число «6» буде множником для 3/15.
• 90 поділити на 18. Отримане число «5» буде множником для 4/18.

Наступний етап нашого рішення - приведення кожного дробу до знаменника «90».

Як це робиться, ми вже говорили. Розглянемо, як це записується в прикладі:

(4 х 5) / (18 х 5) - (3 х 6) / (15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Якщо дроби з маленькими числами, то можна спільний знаменник визначити, як у прикладі, наведеному на картинці нижче.

Аналогічно проводиться і складання дробів, що мають різні знаменники.

Віднімання і додавання дробів, що мають цілі частини

Віднімання дробів та їх складання ми вже детально розібрали. Але як зробити вирахування, якщо у дробу є ціла частина? Знову ж, скористаємося декількома правилами:

• Всі дробу, що мають цілу частину, перевести в неправильні. Говорячи простими словами, прибрати цілу частину. Для цього число цілої частини множимо на знаменник дробу, отримане твір додаємо до чисельника. Те число, яке вийде після цих дій, - чисельник неправильного дробу. Знаменник ж залишається незмінним.
• Якщо дроби мають різні знаменники, слід привести їх до однакового.
• Провести додавання чи віднімання з однаковими знаменниками.
• При отриманні неправильного дробу виділити цілу частину.

Є й інший спосіб, за допомогою якого можна здійснити додавання і віднімання дробів з цілими частинами. Для цього проводяться окремо дії з цілими частинами, і окремо дії з дробами, а результати записуються разом.

Наведений приклад складається з дробів, які мають однаковий знаменник. У тому випадку, коли знаменники різні, їх необхідно привести до однакового, а далі виконати дії, як показано на прикладі.

Віднімання дробів з цілого числа

Ще однією з різновидів дій з дробами є той випадок, коли дріб необхідно відняти від натурального числа. На перший погляд подібний приклад здається важко вирішуваним. Однак тут все досить просто. Для його вирішення необхідно перевести ціле число в дріб, причому з таким знаменником, який є в віднімається дробу. Далі виробляємо віднімання, аналогічне відніманню з однаковими знаменниками. На прикладі це виглядає так:

7 - 4/9 = (7 х 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Наведене в цій статті віднімання дробів (6 клас) є основою для вирішення більш складних прикладів, які розглядаються в наступних класах. Знання цієї теми використовуються згодом для вирішення функцій, похідних і так далі. Тому дуже важливо розібратися і зрозуміти дії з дробами, що розглядаються вище.