Основна властивість дробу. Правила. Основна властивість алгебраїчної дроби

Говорячи про математику, не можна не згадати дробу. Їх вивченню приділяють чимало уваги і часу. Згадайте, скільки прикладів вам доводилося вирішувати, щоб засвоїти ті чи інші правила роботи з дробом, як ви запам`ятовували і застосовували основну властивість дробу. Скільки нервів було витрачено для знаходження спільного знаменника, особливо якщо в прикладах було більше двох доданків!

Давайте ж згадаємо, що це таке, і трохи освіжити в пам`яті основні відомості і правила роботи з дробом.

Визначення дробів

Почнемо, мабуть, з самого головного - визначення. Дріб - це число, яке складається з однієї або більше частин одиниці. Дробове число записується у вигляді двох чисел, розділених горизонтальною або ж косою рисою. При цьому верхнє (або перше) називається чисельником, а нижня (друге) - знаменником.

Варто відзначити, що знаменник показує, на скільки частин розділена одиниця, а чисельник - кількість взятих часток або частин. Найчастіше дробу, якщо вони правильні, менше одиниці.

Тепер давайте розглянемо властивості даних чисел і основні правила, які використовуються при роботі з ними. Але перш ніж ми будемо розбирати таке поняття, як "основна властивість раціонального дробу", поговоримо про види дробів і їх особливості.

Якими бувають дроби

Можна виділити кілька видів таких чисел. В першу чергу це звичайні і десяткові. Перші є вже зазначений нами вид запису раціонального числа за допомогою горизонтальної або косою риси. Другий вид дробів позначається за допомогою так званої позиційної записи, коли спочатку йде вказівка цілої частини числа, а потім, після коми, вказується дрібна частина.

Тут варто відзначити, що в математиці однаково використовуються як десяткові, так і звичайні дроби. Основна властивість дробу при цьому дійсно тільки для другого варіанту. Крім того, в звичайних дробах виділяють правильні і неправильні числа. У першому чисельник завжди менше знаменника. Відзначимо також, що така дріб менше одиниці. У неправильного дробу навпаки - чисельник більше знаменника, а сама вона більше одиниці. При цьому з неї можна виділити ціле число. У даній статті ми розглянемо тільки звичайні дроби.

Властивості дробів

Будь-яке явище, хімічне, фізичне або математичне, має свої характеристики та властивості. Не стали винятком і дробові числа. Вони мають одну важливу особливість, за допомогою якої над ними можна проводити ті чи інші операції. Яке основне властивість дробу? Правило говорить, що якщо її чисельник і знаменник помножити або ж розділити на одне і те ж раціональне число, ми отримаємо нову дріб, величина якої буде дорівнює величині вихідної. Тобто, помноживши дві частини дрібного числа 3/6 на 2, ми отримаємо нову дріб 6/12, при цьому вони будуть рівні.

Виходячи з цієї властивості, можна скорочувати дроби, а також підбирати спільні знаменники для тієї чи іншої пари чисел.

Операції

Незважаючи на те що дроби здаються нам більш складними, в порівнянні з простими числами, з ними також можна виконувати основні математичні операції, такі як додавання і віднімання, множення і ділення. Крім того, є й таке специфічне дію, як скорочення дробів. Природно, кожне з цих дій відбувається відповідно до певних правил. Знання цих законів полегшує роботу з дробом, робить її більш легкою і цікавою. Саме тому далі ми з вами розглянемо основні правила та алгоритм дій при роботі з такими числами.

Але перш ніж говорити про такі математичних операціях, як додавання і віднімання, розберемо таку операцію, як приведення до спільного знаменника. Ось тут нам якраз таки і стане в нагоді знання того, яке основне властивість дробу існує.

Спільний знаменник

Для того щоб число привести до спільного знаменника, спочатку знадобиться знайти найменше спільне кратне для двох знаменників. Тобто найменше число, яке одночасно ділиться на обидва знаменника без залишку. Найбільш простий спосіб підібрати НОК (найменше спільне кратне) - виписати в рядок числа, кратні для одного знаменника, потім для другого і знайти серед них збігається число. У тому випадку, якщо НОК не знайдено, тобто у даних чисел немає загального кратного числа, слід перемножити їх, а отримане значення вважати за НОК.

Отже, ми знайшли НОК, тепер слід знайти додатковий множник. Для цього потрібно по черзі розділити НОК на знаменники дробів і записати над кожною з них отримане число. Далі слід помножити чисельник і знаменник на отриманий додатковий множник і записати результати у вигляді нової дробу. Якщо ви сумніваєтеся в тому, що отримане вами число дорівнює раніше, згадайте основну властивість дробу.

Додавання

Тепер перейдемо безпосередньо до математичних операцій над дробовими числами. Почнемо з найпростішої. Є кілька варіантів складання дробів. У першому випадку обидва числа мають однаковий знаменник. У такому випадку залишається лише скласти числители між собою. Але знаменник не змінюється. Наприклад, 1/5 + 3/5 = 4/5.

У випадку якщо у дробів різні знаменники, слід привести їх до спільного і лише потім виконувати додавання. Як це зробити, ми з вами розібрали трохи вище. У даній ситуації вам якраз і стане в нагоді основна властивість дробу. Правило дозволить привести числа до спільного знаменника. При цьому значення жодним чином не зміниться.

Як варіант, може статися, що дріб є змішаною. Тоді слід спочатку скласти між собою цілі частини, а потім вже дробові.

Множення

Множення дробів не вимагає ніяких хитрощів, і для того щоб виконати дану дію, необов`язково знати основну властивість дробу. Досить спочатку перемножити між собою чисельники і знаменники. При цьому твір числителей стане новим чисельником, а знаменників - новим знаменником. Як бачите, нічого складного.

Єдине, що від вас вимагається, - знання таблиці множення, а також уважність. Крім того, після отримання результату слід обов`язково перевірити, чи можна скоротити дане число чи ні. Про те, як скорочувати дроби, ми розповімо трохи пізніше.

Віднімання

Виконуючи віднімання дробів, слід керуватися тими ж правилами, що і при додаванні. Так, в числах з однаковим знаменником достатньо від чисельника зменшуваного відняти чисельник від`ємника. У тому випадку, якщо у дробів різні знаменники, слід привести їх до спільного і потім виконати дану операцію. Як і в аналогічному випадку зі складанням, вам знадобиться використовувати основну властивість алгебраїчної дробу, а також навички в знаходженні НОК і спільних дільників для дробів.

Поділ

І остання, найбільш цікава операція при роботі з такими числами - поділ. Вона досить проста і не викликає особливих труднощів навіть у тих, хто погано розбирається, як працювати з дробом, особливо виконувати операції додавання і віднімання. При розподілі діє таке правило, як множення на зворотну дріб. Основна властивість дробу, як і у випадку з множенням, задіяно для даної операції не буде. Розберемо докладніше.

При діленні чисел ділиме залишається без змін. Дріб-дільник перетворюється на зворотну, тобто чисельник зі знаменником міняються місцями. Після цього числа перемножуються між собою.

Скорочення

Отже, ми з вами вже розібрали визначення і структуру дробів, їх види, правила операцій над даними числами, з`ясували основну властивість алгебраїчної дробу. Тепер поговоримо про таку операцію, як скорочення. Скороченням дробу називається процес її перетворення - поділ чисельника і знаменника на одне і те ж число. Таким чином, дріб скорочується, не змінюючи при цьому своїх властивостей.

Зазвичай при здійсненні математичної операції слід уважно подивитися на отриманий в підсумку результат і з`ясувати, чи можливо скоротити отриману дріб або ж ні. Пам`ятайте, що в підсумковий результат завжди записується не потребує скорочення дробове число.

Інші операції

Наостанок зазначимо, що ми перерахували далеко не всі операції над дробовими числами, згадавши лише найвідоміші і необхідні. Дробу також можна зрівняти, перетворити в десяткові і навпаки. Але в даній статті ми не стали розглядати дані операції, так як у математиці вони здійснюються набагато рідше, ніж ті, що були наведені нами вище.

Висновки

Ми з вами поговорили про дрібних числах та операціях з ними. Розібрали також основну властивість дробу, скорочення дробів. Але зауважимо, що всі ці питання були розглянуті нами побіжно. Ми навели лише найбільш відомі та вживані правила, дали найбільш важливі, на наш погляд, поради.

Дана стаття покликана швидше освіжити забуті вами відомості про дробах, ніж дати нову інформацію і "забити" голову нескінченними правилами і формулами, які, найімовірніше, вам так і не знадобляться.

Сподіваємося, що матеріал, представлений у статті просто і лаконічно, став для вас корисним.