Додавання дробів: визначення, правила і приклади завдань

Одними з найскладніших для розуміння школяра є різні дії з простими дробами. Це пов`язано з тим, що дітям ще складно мислити абстрактно, а дробу, по суті, для них саме так і виглядають. А тому, викладаючи матеріал, вчителі часто вдаються до аналогій і пояснюють віднімання і додавання дробів буквально на пальцях. Хоча без правил і визначень не обходиться жоден урок шкільної математики.

Базові поняття

Перш ніж приступити до будь-яких дій з дробами, бажано засвоїти кілька базових визначень і правил. Спочатку важливо розуміти, що таке дріб. Під нею розуміється число, що представляє собою одну або декілька часток одиниці. Наприклад, якщо буханець розрізати на 8 частин і 3 скибочки з них викласти в тарілку, то 3/8 і буде дробом. Причому в такому написанні це буде простий дробом, де число над рисою - це чисельник, а під нею - знаменник. А от якщо її записати як 0,375, це вже буде десяткова дріб.

До того ж прості дроби підрозділяють на правильні, неправильні та змішані. До перших відносять всі ті, чисельник яких менше знаменника. Якщо навпаки, знаменник менше чисельника, це вже буде неправильна дріб. У разі якщо перед правильної варто ціле число, говорять про змішаних числах. Таким чином, дріб 1/2 - правильна, а 7/2 - ні. А якщо її записати в такому вигляді: 3¹/₂, то вона стане змішаною.

Щоб легше було розібратися в тому, що таке додавання дробів, і з легкістю його виконувати, важливо ще запам`ятати основну властивість дробу. Його суть в наступному. Якщо чисельник і знаменник помножити на одне і те ж число, то дріб не зміниться. Саме ця властивість дозволяє здійснювати прості дії з звичайними та іншими дробом. По факту це означає, що 1/15 і 3/45, по суті, одне і те ж число.

Додавання дробів з однаковими знаменниками

Виконання цієї дії зазвичай не викликає великих труднощів. Додавання дробів в цьому випадку дуже сильно нагадує подібну дію з цілими числами. Знаменник залишається без змін, а числители просто складаються між собою. Наприклад, якщо потрібно скласти дробу 2/7 і 3/7, то рішення шкільної завдання в зошиті буде ось таким:

2/7 + 3/7 = (2 + 3) / 7 = 5/7.

До того ж таке складання дробів можна пояснити на простому прикладі. Взяти звичайне яблуко і розрізати, наприклад, на 8 частин. Викласти окремо спочатку 3 частини, а потім додати до них ще 2. І в результаті в чашці буде лежати 5/8 цілого яблука. Саму арифметичну задачу записують, як показано нижче:

3/8 + 2/8 = (3 + 2) / 8 = 5/8.

Додавання дробів з різними знаменниками

Але найчастіше зустрічаються завдання поскладніше, де потрібно скласти між собою, наприклад, 5/9 і 3/5. Ось тут і виникають перші складності в діях з дробами. Адже додавання таких чисел зажадає додаткових знань. Тепер в повній мірі буде потрібно згадати про їх основному властивості. Щоб скласти дробу з прикладу, для початку їх потрібно привести до одного спільного знаменника. Для цього необхідно просто перемножити 9 і 5 між собою, чисельник "5" помножити на 5, а "3", відповідно, на 9. Таким чином, вже складаються такі дроби: 25/45 і 27/45. Тепер тільки залишилося скласти числители і отримати відповідь 52/45. На листку паперу приклад буде виглядати так:

5/9 + 3/5 = (5 х 5) / (9 х 5) + (3 х 9) / (5 х 9) = 25/45 + 27/45 = (25 + 27) / 45 = 52 / 45 = 1⁷/₄₅.

Але складання дробів з такими знаменниками не завжди вимагає простого перемноження чисел під рискою. Спочатку шукають найменший спільний знаменник. Наприклад, як для дробів 2/3 і 5/6. Для них це буде число 6. Але не завжди відповідь очевидна. У цьому випадку варто згадати правило пошуку найменшого спільного кратного (скорочено НОК) двох чисел.

Під ним розуміють найменший спільний множник двох цілих чисел. Щоб його знайти, розкладають кожне на прості множники. Тепер виписують ті з них, які входять хоча б один раз в кожне число. Перемножують їх між собою і отримують той самий знаменник. На ділі все виглядає трохи простіше.

Наприклад, потрібно скласти дробу 4/15 і 1/6. Так, 15 виходить перемножением простих чисел 3 і 5, а шість - два і три. Значить, НОК для них буде 5 х 3 х 2 = 30. Тепер, розділивши 30 на знаменник першого дробу, отримаємо множник для її чисельника - 2. А для другого дробу це буде число 5. Таким чином, залишається скласти звичайні дроби 8/30 і 5/30 і отримати відповідь 13/30. Все гранично просто. У зошиті ж слід це завдання записати так:

4/15 + 1/6 = (4 х 2) / (15 х 2) + (1 х 5) / (6 х 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

НОК (15, 6) = 30.

Додавання мішаних чисел

Тепер, знаючи всі основні прийоми в складання простих дробів, можна спробувати свої сили на більш складних прикладах. І це будуть змішані числа, під якими розуміють дріб такого виду: 2²/₃. Тут перед правильної дробом виписана ціла частина. І багато плутаються при вчиненні дій з такими числами. Насправді, тут працюють все ті ж правила.

Щоб скласти між собою змішані числа, окремо складають цілі частини і правильні дроби. А потім вже підсумовують ці 2 результату. На практиці все набагато простіше, варто тільки трохи повправлятися. Наприклад, в задачі потрібно скласти такі змішані числа: 1¹/₃ і 4²/₅. Щоб це зробити, спочатку складаються 1 і 4 - вийде 5. Потім підсумовують 1/3 і 2/5, використовуючи прийоми приведення до найменшого спільного знаменника. Рішенням буде 11/15. А остаточну відповідь - це 5¹¹/₁₅. У шкільному зошиті це буде виглядати набагато коротше:

1¹/₃ + 4²/₅ = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5¹¹/₁₅.

Складання десяткових дробів

Крім звичайних дробів, є і десяткові. Вони, до речі, набагато частіше зустрічаються в житті. Наприклад, ціна в магазині виглядає часто таким чином: 20,3 рубля. Це і є та сама дріб. Звичайно, такі складати набагато простіше, ніж звичайні. В принципі, потрібно просто скласти 2 звичайних числа, головне, в потрібному місці поставити кому. Ось тут і виникають складнощі.

Приміром потрібно скласти такі десяткові дроби 2,5 і 0,56. Щоб зробити це правильно, потрібно до першої в кінці дописати нуль, і все буде в порядку.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Важливо знати, що будь-яка десяткова дріб може бути перетворена в просту, але не будь-яку просту дріб можна записати як десяткову. Так, з нашого прикладу 2,5 = 2¹/₂ і 0,56 = 14/25. А ось така дріб, як 1/6, буде тільки приблизно дорівнює 0,16667. Така ж ситуація буде з іншими подібними числами - 2/7, 1/9 і так далі.

Висновок

Багато школярів, не розуміючи практичної сторони дій з дробами, відносяться до цієї теми абияк. Однак у більш старших класах ці базові знання дозволять клацати як горішки складні приклади з логарифмами і знаходженням похідних. А тому варто один раз добре розібратися в діях з дробами, щоб потім не кусати від досади лікті. Адже навряд чи педагог у старших класах буде повертатися до цієї, вже пройденої, темі. Будь старшокласник повинен уміти виконувати подібні вправи.