Ряди Фур'є: історія та вплив математичного механізму на розвиток науки

Ряди Фур`є - це подання довільно взятої функції з конкретним періодом у вигляді ряду. У загальному вигляді дане рішення називають розкладанням елемента по ортогональному базису. Розкладання функцій в ряд Фур`є є досить потужним інструментарієм при вирішенні різноманітних завдань завдяки властивостям даного перетворення при інтегруванні, диференціюванні, а також зсуві вираження по аргументу і згортку.

Людина, не знайомий з вищою математикою, а також з працями французького вченого Фур`є, швидше за все, не зрозуміє, що це за «ряди» і для чого вони потрібні. А між тим дане перетворення досить щільно увійшло в наше життя. Ним користуються не тільки математики, а й фізики, хіміки, медики, астрономи, сейсмологи, океанографи і багато інших. Давайте і ми ближче познайомимося з працями великого французького вченого, який зробив відкриття, випередив свій час.

Людина і перетворення Фур`є

Ряди Фур`є є одним з методів (поряд з аналізом та іншими) перетворення Фур`є. Даний процес відбувається кожного разу, коли людина чує якийсь звук. Наше вухо в автоматичному режимі виробляє перетворення звукової хвилі. Коливальні рухи елементарних частинок в пружною середовищі розкладаються в ряди (по спектру) послідовних значень рівня гучності для тонів різної висоти. Далі мозок перетворює ці дані в звичні для нас звуки. Все це відбувається крім нашого бажання чи свідомості, саме по собі, а от для того щоб зрозуміти ці процеси, знадобиться кілька років вивчати вищу математику.

Детальніше про перетворення Фур`є

Перетворення Фур`є можна проводити аналітичними, числівниками та іншими методами. Ряди Фур`є ставляться до числівника способу розкладання будь-яких коливальних процесів - від океанських припливів і світлових хвиль до циклів сонячної (та інших астрономічних об`єктів) активності. Використовуючи ці математичні прийоми, можна розбирати функції, представляючи будь коливальні процеси в якості ряду синусоїдальних складових, які переходять від мінімуму до максимуму і назад. Перетворення Фур`є є функцією, яка описує фазу і амплітуду синусоид, відповідних певній частоті. Даний процес можна використовувати для вирішення дуже складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під дією теплової, світловий або електричної енергії. Також ряди Фур`є дозволяють виділяти постійні складові в складних коливальних сигналах, завдяки чому стало можливим правильно інтерпретувати отримані експериментальні спостереження в медицині, хімії та астрономії.

Історична довідка

Батьком-засновником цієї теорії є французький математик Жан Батист Жозеф Фур`є. Його ім`ям згодом і було названо дане перетворення. Спочатку вчений застосував свій метод для вивчення і пояснення механізмів теплопровідності - поширення тепла у твердих тілах. Фур`є припустив, що початкове нерегулярне розподіл теплової хвилі можна розкласти на найпростіші синусоїди, кожна з яких матиме свій температурний мінімум і максимум, а також свою фазу. При цьому кожна така компонента буде вимірюватися від мінімуму до максимуму і назад. Математична функція, яка описує верхні і нижні піки кривої, а також фазу кожної з гармонік, назвали перетворенням Фур`є від виразу розподілу температури. Автор теорії звів загальну функцію розподілу, яка важко піддається математичному опису, до вельми зручному в зверненні ряду періодичних функцій косинуса і синуса, в сумі дають початкове розподіл.

Принцип перетворення і погляди сучасників

Сучасники вченого - провідні математики початку дев`ятнадцятого століття - не прийняли цю теорію. Основним запереченням послужило твердження Фур`є про те, що розривну функцію, що описує пряму лінію або розриваються криву, можна представити у вигляді суми синусоїдальних виразів, які є безперервними. Як приклад можна розглянути «сходинку» Хевисайда: її значення дорівнює нулю зліва від розриву і одиниці праворуч. Ця функція описує залежність електричного струму від тимчасової змінної при замиканні ланцюга. Сучасники теорії на той момент ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривне вираз описувалося б комбінацією безперервних, звичайних функцій, таких як експонента, синусоїда, лінійна або квадратична.

Що бентежило французьких математиків в теорії Фур`є?

Адже якщо математик був у правий у своїх твердженнях, то, підсумовуючи нескінченний тригонометричний ряд Фур`є, можна отримати точне уявлення ступеневої вираження навіть у тому випадку, якщо воно має безліч подібних ступенів. На початку дев`ятнадцятого століття подібне твердження здавалося абсурдним. Але незважаючи на всі сумніви, багато математики розширили сферу вивчення даного феномена, вивівши його за межі досліджень теплопровідності. Однак більшість вчених продовжували мучитися питанням: "Чи може сума синусоидального ряду сходитися до точного значення розривної функції?"

Збіжність рядів Фур`є: приклад

Питання про збіжність піднімається щоразу при необхідності підсумовування нескінченних рядів чисел. Для розуміння даного феномена розглянемо класичний приклад. Чи зможете ви коли-небудь досягти стіни, якщо кожний наступний крок буде вдвічі менше попереднього? Припустимо, що ви перебуваєте в двох метрах від мети, перший же крок наближає до позначки на половині шляху, наступний - до позначки в три чверті, а після п`ятого ви подолаєте майже 97 відсотків шляху. Однак скільки б ви кроків не зробили, наміченої мети ви не досягнете в строгому математичному сенсі. Використовуючи числові розрахунки, можна довести, що врешті-решт можна наблизитися на скільки завгодно мале задану відстань. Дане доказ є еквівалентним демонстрації того, що сумарне значення однієї другої, однієї четвертої і т. Д. Буде прагнути до одиниці.

Питання збіжності: друге пришестя, або Прилад лорда Кельвіна

Повторно дане питання піднявся в кінці дев`ятнадцятого століття, коли ряди Фур`є спробували застосувати для передбачення інтенсивності відливів і припливів. У цей час лордом Кельвіном був винайдений прилад, що представляє собою аналогове обчислювальний пристрій, яке дозволяло морякам військового і торгового флоту відстежувати це природне явище. Даний механізм визначав набори фаз і амплітуд по таблиці висоти припливів і відповідних їм тимчасових моментів, ретельно заміряних в даній гавані протягом року. Кожен параметр являв собою синусоидальную компоненту вираження висоти припливу і був однією з регулярних складових. Результати вимірювань вводилися в обчислювальний прилад лорда Кельвіна, що синтезує криву, яка передбачала висоту води як тимчасову функцію на наступний рік. Дуже скоро подібні криві були складені для всіх гаваней світу.

А якщо процес буде порушений розривної функцією?

У той час представлялося очевидним, що прилад, який пророкує приливну хвилю, з великою кількістю елементів рахунку може обчислити велику кількість фаз і амплітуд і так забезпечити більш точні передбачення. Проте виявилося, що дана закономірність не дотримується в тих випадках, коли приливний вираз, який слід синтезувати, містило різкий стрибок, тобто було розривним. У тому випадку, якщо в пристрій вводяться дані з таблиці тимчасових моментів, то воно виробляє обчислення декількох коефіцієнтів Фур`є. Початкова функція відновлюється завдяки синусоїдальним компонентам (відповідно до знайденими коефіцієнтами). Розбіжність між вихідним і відновленим виразом можна вимірювати в будь-якій точці. При проведенні повторних обчислень і порівнянь видно, що значення найбільшою помилки не зменшується. Однак вони локалізуються в області, що відповідає точці розриву, а в будь-якій іншій точці прагнуть до нуля. У 1899 році цей результат був теоретично підтверджено Джошуа Уіллардом Гиббсом з Єльського університету.

Збіжність рядів Фур`є і розвиток математики в цілому

Аналіз Фур`є непридатний до виразів, що містить нескінченну кількість сплесків на певному інтервалі. У загальному і цілому ряди Фур`є, якщо початкова функція представлена результатом реального фізичного виміру, завжди сходяться. Питання збіжності даного процесу для конкретних класів функцій призвели до появи нових розділів у математиці, наприклад теорії узагальнених функцій. Вона пов`язана з такими іменами, як Л. Шварц, Дж. Мікусінскій і Дж. Темпл. В рамках даної теорії була створена чітка і точна теоретична основа під такі вирази, як дельта-функція Дірака (вона описує область єдиної площі, сконцентрованої в нескінченно малій околиці точки) і «щабель» Хевисайда. Завдяки цій роботі ряди Фур`є стали застосовні для вирішення рівнянь і задач, в яких фігурують інтуїтивні поняття: точковий заряд, точкова маса, магнітні диполі, а також зосереджене навантаження на балці.

Метод Фур`є

Ряди Фур`є, відповідно до принципів інтерференції, починаються з розкладання складних форм на більш прості. Наприклад, зміна теплового потоку пояснюється його проходженням крізь різні перешкоди з теплоізолюючого матеріалу неправильної форми або зміною поверхні землі - землетрусом, зміною орбіти небесного тіла - впливом планет. Як правило, подібні рівняння, що описують прості класичні системи, елементарно вирішуються для кожної окремої хвилі. Фур`є показав, що прості рішення також можна підсумувати для отримання рішення більш складних завдань. Висловлюючись мовою математики, ряди Фур`є - це методика подання вираження сумою гармонік - косинусоид і синусоид. Тому даний аналіз відомий також під ім`ям «гармонійний аналіз».

Ряд Фур`є - ідеальна методика до «комп`ютерної епохи»

До створення комп`ютерної техніки методика Фур`є була кращою зброєю в арсеналі вчених при роботі з хвильової природою нашого світу. Ряд Фур`є в комплексній формі дозволяє вирішувати не тільки прості завдання, які піддаються прямому застосуванню законів механіки Ньютона, але й фундаментальні рівняння. Більшість відкриттів ньютонівської науки дев`ятнадцятого століття стали можливі тільки завдяки методиці Фур`є.

Ряди Фур`є сьогодні

З розвитком комп`ютерів перетворення Фур`є піднялися на якісно новий рівень. Дана методика міцно закріпилася практично у всіх сферах науки і техніки. Як приклад можна привести цифрової аудіо- і відеосигнал. Його реалізація стала можливою тільки завдяки теорії, розробленої французьким математиком на початку дев`ятнадцятого століття. Так, ряд Фур`є в комплексній формі дозволив зробити прорив у вивченні космічного простору. Крім того, це вплинуло на вивчення фізики напівпровідникових матеріалів та плазми, мікрохвильовою акустики, океанографії, радіолокації, сейсмології.

Тригонометричний ряд Фур`є

У математиці ряд Фур`є є способом представлення довільних складних функцій сумою більш простих. У загальних випадках кількість таких виразів може бути нескінченним. При цьому чим більше їх число враховується при розрахунку, тим точніше виходить кінцевий результат. Найчастіше як найпростіших використовують тригонометричні функції косинуса або синуса. У такому випадку ряди Фур`є називають тригонометричними, а рішення таких виразів - розкладанням гармоніки. Цей метод відіграє важливу роль в математиці. Перш за все, тригонометричний ряд дає кошти для зображення, а також вивчення функцій, він є основним апаратом теорії. Крім того, він дозволяє вирішувати ряд задач математичної фізики. Нарешті, дана теорія сприяла розвитку математичного аналізу, викликала до життя цілий ряд дуже важливих розділів математичної науки (теорію інтегралів, теорію періодичних функцій). Крім того, послужила відправним пунктом для розвитку наступних теорій: множин, функцій дійсного змінного, функціонального аналізу, а також поклала початок гармонійному аналізу.