Історія розвитку числа. Розвиток поняття числа

Розвиток уявлень про числі становить важливу частину нашої історії. Воно є одним з основних математичних понять, яке дозволяє висловити результати вимірювання або рахунки. Вихідним для безлічі математичних теорій служить поняття числа. Воно застосовується також в механіці, фізиці, хімії, астрономії та безлічі інших наук. Крім того, в повсякденному житті ми постійно користуємося числами.

Поява цифр

Послідовники вчення Піфагора вважали, що числа містять в собі містичну сутність речей. Ці математичні абстракції керують світом, встановлюючи порядок в ньому. Піфагорійці припускали, що всі існуючі в світі закономірності можна виразити за допомогою чисел. Саме з Піфагора теорія розвитку чисел стала цікавити безліч вчених. Символи ці вважалися основою матеріального світу, а не просто виразами деякого закономірного порядку.

Історія розвитку числа і рахунки почалася з того, що був створений практичний рахунок предметів, а також вимірювання обсягів, поверхонь і ліній.

Поступово формувалося поняття про натуральні числа. Цей процес ускладнювався тим, що первісна людина не вмів відокремлювати від конкретного уявлення абстрактне. Рахунок в результаті цього залишався довгий час лише речовим. Використовувалися помітки, камінчики, пальці і т. П. Застосовували для запам`ятовування його результатів вузлики, зарубки та ін. Після винаходу писемності історія розвитку числа була відзначена тим, що почали використовувати букви, а також особливі значки, що застосовувалися для скороченого зображення на листі великих чисел . Зазвичай відтворювався при такому кодуванні принцип нумерації, аналогічний тому, який використовувася в мові.

Пізніше з`явилася ідея вважати десятками, а не тільки одиницями. У 100 різних індоєвропейських мовах назви чисел від двох до десяти подібні, як і назви десятків. Отже, дуже давно з`явилося поняття абстрактного числа, ще до того, як мови ці були розділені.

Рахунок по пальцях спочатку був широко поширений, і це пояснює те, що у більшості народів при утворенні числівників особливе положення займає символ, що позначає 10. Десяткова система числення відбувається саме звідси. Хоча існують і виключення. Наприклад, 80 в перекладі з французької мови - «чотири двадцятки", а 90 - «чотири двадцятки плюс десять". Вживання це сходить до рахунку по пальцях ніг і рук. Влаштовані аналогічно числівники абхазького, осетинського і датської мов.

У грузинській мові рахунок двадцятками ще ясніше. Ацтеки і шумери вважали спочатку п`ятірками. Існують також і більш екзотичні варіанти, якими відзначена історія розвитку числа. Наприклад, у наукових розрахунках вавилоняни застосовували шістдесяткова систему. У так званих "унарних" системах число утворюється за допомогою повторення знака, що символізує одиницю. Древніми людьми такий спосіб застосовувався приблизно 10-11 тис. років до н. е.

Існують також непозиційної системи, в яких кількісні значення використовуються для запису символів не залежить від їх місця в коді числа. Використовується додавання цифр.

Давньоєгипетські числа

Знання математики Стародавнього Єгипту засновано сьогодні на двох папірусах, які датуються приблизно 1700 роком до н. е. Математичні відомості, що викладаються в них, сягають давнішого періоду, близько 3500 року до н. е. Єгиптяни цю науку використовували для того, щоб обчислювати вага різних тіл, обсяги зерносховищ і площі посівів, розміри податей, а також необхідне для зведення споруд кількість каменів. Однак основною областю застосування математики була астрономія, пов`язані з календарем розрахунки. Календар необхідний був для визначення дат різних релігійних свят, а також передбачення повеней Нілу.

Писемність в Давньому Єгипті була заснована на ієрогліфах. У той період система числення поступалася вавілонянской. Користувалися єгиптяни непозиционной десятковою системою, в якій кількістю вертикальних рис позначалися числа від 1 до 9. Індивідуальні символи вводилися для ступенів десяти. Історія розвитку числа в Давньому Єгипті продовжилася наступним чином. З виникненням папірусу було введено ієратичне письмо (тобто скоропис). Спеціальний символ використовувався в ньому для позначення чисел від 1 до 9, а також кратних 10, 100 і т. Д. Розвиток раціональних чисел у той час відбувалося повільно. Вони записувалися, як сума дробів з рівним одиниці чисельником.

Числа в Стародавній Греції

На використанні різних букв алфавіту була заснована Грецька система числення. Історія натуральних чисел в цій країні відзначена тим, що вживається з 6-3 століть до н. е. аттическая система для позначення одиниці застосовувала вертикальну риску, а 5, 10, 100 і т. д. писалися з допомогою початкових букв їхніх назв грецькою мовою. У ионической системі, більш пізньої, використовувалися для позначення чисел 24 діючі букви алфавіту, а також 3 архаїчні. Як перші 9 чисел (від 1 до 9) позначалися кратні 1000 до 9000, однак перед буквою ставилася при цьому вертикальна риса. "М" позначалися десятки тисяч (від грецького слова "міріоі"). Після неї випливало число, на яке слід було помножити 10000.

У Греції в 3 столітті до н. е. виникла числова система, в якій власний знак алфавіту відповідав кожній цифрі. Греки, починаючи з 6 століття, в якості цифр стали використовувати перші десять знаків свого алфавіту. Саме в цій країні не тільки активно розвивалася історія натуральних чисел, а й зародилася математика в сучасному її розумінні. В інших державах того часу вона застосовувалася або для звичайних потреб, або для різних магічних ритуалів, за допомогою яких з`ясовували волю богів (нумерологія, астрологія і т. П.).

Римська нумерація

У Стародавньому Римі використовувалася нумерація, яка під ім`ям римської збереглася і до сьогоднішніх днів. Ми її застосовуємо для позначення ювілейних дат, століть, найменування конференцій та з`їздів, нумерації строф вірша чи глав книги. За допомогою повторення цифр 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, що позначалися у них, відповідно, як I, V, X, L, C, D, M записуються всі цілі числа. Якщо велика цифра знаходиться перед меншою, вони підсумовуються, якщо ж перед більшою варто менша, то остання віднімається з неї. Одну й ту ж цифру не можна ставити більше трьох разів. Довгий час країни Західної Європи користувалися в якості основної римською нумерацією.

Позиційні системи

Це такі системи, в яких кількісні значення символів залежать від їх місця в коді числа. Основні їх достоїнства - простота виконання різних арифметичних операцій, а також невелике число символів, необхідних для запису чисел.

Досить багато існує таких систем. Наприклад, двійкова, вісімкова, п`ятіркова, десяткова, двадцатерічная та ін. Кожна має власну історію.

Система, що існувала у інків

Стос - це стародавня лічильна і мнемонічна система, яка існувала у інків, а також їх попередників в Андах. Вона досить своєрідна. Це складні вузлики і мотузкові сплетення, виготовлені з вовни лам і альпака, або з бавовни. Може бути в стос від декількох звисаючих ниток до двох тисяч. Використовувалася вона посильними для передачі повідомлень за імперськими дорогах, а також у різних аспектах життя суспільства (як топографічна система, календар, для фіксації законів і податків та ін.). Читали і писали стос тлумачі, спеціально навчені. Вони обмацували вузлики пальцями, беручи в руки стос. Велика частина інформації в ній - числа, представлені в десятковій системі.

Вавілонські цифри

На глиняних табличках клинописними значками писали вавілоняни. Вони дійшли до наших днів у чималій кількості (більше 500 тис., Близько 400 з яких пов`язані з математикою). Слід зазначити, що коріння культури вавілонян були успадковані в значній мірі від шумерів - рахункова методика, клинописное лист і т. П.

Набагато досконалішим єгипетської була вавилонська система рахунку. Вавилоняни і шумери застосовували 60-річно позиційну, яка сьогодні увічнена в діленні кола на 360 градусів, а також години і хвилини на 60 хвилин і секунд відповідно.

Рахунок у Стародавньому Китаї

Розвиток поняття про число здійснювалося і в Древньому Китаї. У цій країні цифри позначалися за допомогою спеціальних ієрогліфів, що з`явилися приблизно 2 тис. Років до н. е. Проте остаточно накреслення їх встановилося лише до 3 століття до н. е. І сьогодні застосовуються ці ієрогліфи. Спочатку мультиплікативним був спосіб запису. Число 1 946, наприклад, можна уявити, використовуючи римські цифри замість ієрогліфів, як 1М9С4Х6. Але розрахунки на практиці вироблялися на лічильної дошці, де була іншою запис чисел - позиційної, як в Індії, а не десятковій, як у вавилонян. Порожнім місцем позначався нуль. Лише близько 12 століття н. е. з`явився для нього спеціальний ієрогліф.

Історія числення в Індії

Різноманітні і широкі досягнення математики в Індії. Ця країна внесла великий внесок у розвиток поняття про число. Саме тут була винайдена десяткова позиційна система, звична нам. Індійці запропонували символи для запису 10 цифр, з деякими змінами використовуються в наші дні повсюдно. Саме в цій країні були закладені також основи десяткової арифметики.

Сучасні цифри походять від індійських значків, накреслення яких використовувалося ще в 1 столітті н. е. Спочатку індійська нумерація була вишуканою. Засоби для запису чисел до десяти в п`ятдесятої ступеня застосовувалися в санскриті. Спочатку для цифр використовувалася так звана "сиро-фінікійська" система, а з 6 століття до н. е. - "Брахми", з окремими знаками для них. Ці значки, кілька видозмінивши, стали сучасними цифрами, званими сьогодні арабськими.

Невідомий індійський математик приблизно в 500 році н. е. винайшов нову систему запису - десяткову позиційну. Виконання різних арифметичних дій в ній було незмірно простіше, ніж в інших. Індійці надалі застосовували рахункові дошки, які були пристосовані до позиційної записи. Ними були розроблені алгоритми арифметичних операцій, у тому числі отримання кубічних і квадратних коренів. Індійський математик Брахмагупта, що жив в 7-му столітті, ввів у вживання від`ємні числа. Далеко просунулися індійці в алгебрі. Символіка їх більш багата, ніж у Діофанта, хоча кілька засмічена словами.

Історичний розвиток чисел на Русі

Нумерація служить головною передумовою математичних знань. Вона мала різний вигляд у різних народів давнини. Виникнення і розвиток числа на ранньому етапі збігалося в різних частинах світу. Спочатку всі народи позначали їх зарубками на паличках, що називалися бирками. Цей спосіб запису податків або боргових зобов`язань використовувався малограмотним населенням усього світу. Робили нарізи на паличці, які відповідали сумі податку або боргу. Потім її розколювали навпіл, залишивши одну половину у платника або боржника. Інша зберігалася в казначействі або у позикодавця. Обидві половинки при розплату перевіряли складанням.

Цифри з`явилися з виникненням писемності. Вони нагадували спочатку зарубки на палицях. Потім з`явилися спеціальні значки для деяких з них, таких як 5 і 10. Всі нумерації в той час були позиційними, а нагадують римську. У Древній Русі, у той час як у державах Західної Європи застосовували римську нумерацію, користувалися алфавітній, подібної з грецької, оскільки наша країна, подібно іншим слов`янським, як відомо, перебувала в культурному спілкуванні з Візантією.

Числа від 1 до 9, а потім десятки і сотні в давньоруської нумерації зображувалися літерами слов`янського алфавіту (кирилиці, введеної в дев`ятому столітті).

Деякі виключення були з цього правила. Так, 2 позначалося не «буки", другий за рахунком в алфавіті, а "веди" (третьої), оскільки літера З по-староруський передавалася звуком "в". Перебувала в кінці алфавіту "фіта" позначала 9, "хробак" - 90. Окремі літери не використовувалися. Для позначення того, що знак цей є цифрою, а не буквою, над ним зверху писали знак, званий "титло", "~". "Тьми" називалися десятки тисяч. Позначали їх, обводячи кружками знаки одиниць. Сотні тисяч іменувалися "легіонами". Їх зображували, гуртками з точок обводячи знаки одиниць. Мільйони - "Леодр". Ці знаки зображувалися як обведені в гуртки з запитах або променів.

Подальший розвиток натурального числа сталося на початку сімнадцятого століття, коли індійські цифри стали відомі на Русі. Аж до вісімнадцятого століття використовувалася в Росії слов`янська нумерація. Після цього вона була замінена сучасною.

Історія комплексних чисел

Ці числа були введені вперше у зв`язку з тим, що була виділена формула обчислення коренів кубічного рівняння. Тартальей, італійський математик, отримав в першій половині шістнадцятого століття вираз розрахунку для кореня рівняння через деякі параметри, для знаходження яких потрібно було скласти систему. Однак було з`ясовано, що подібна система мала рішення не для всіх кубічних рівнянь в дійсних числах. Це явище пояснив Рафаель Бомбелли в 1572 році, що було по суті введенням комплексних чисел. Однак отримані результати довгий час вважалися сумнівними багатьма вченими, і лише в дев`ятнадцятому столітті історія комплексних чисел ознаменувалася важливою подією - їх існування було визнано після появи праць К. Ф. Гаусса.