Десяткова система числення: підстава, приклади і переклад в інші системи числення

З того моменту, як людина вперше усвідомив себе автономним об`єктом у світі, озирнувся навколо, перервавши замкнуте коло бездумного виживання, він почав вивчати. Дивився, порівнював, вважав, робив висновки. Саме на цих, здавалося б, елементарних діях, які зараз під силу і дитині, почали ґрунтуватися сучасні науки.

З чим працювати будемо?

Для початку необхідно визначитися з тим, що взагалі являє собою система числення. Це умовний принцип запису чисел, їх наочне уявлення, яке спрощує процес пізнання. Самі по собі числа не існує (хай вибачить нас Піфагор, який вважав число основою світобудови). Це просто абстрактний об`єкт, що має фізичне обгрунтування лише при обчисленнях, своєрідне мірило. Цифри - об`єкти, з яких число складається.

Початок

Перший усвідомлений рахунок носив самий примітивний характер. Тепер його прийнято називати непозиційній системою числення. На практиці вона являє собою число, в яких позиція складових його елементів неважлива. Взяти, приміром, звичайні рисочки, кожна з яких відповідає певному об`єкту: три людини еквівалентні |||. Як не крути, три рисочки - це все ті ж три рисочки. Якщо брати більш близькі приклади, то древні новгородці користувалися при рахунку слов`янським алфавітом. При необхідності виділення саме числа над буквою просто проставляли знак ~. Також буквена система числення була в пошані у стародавніх римлян, де числа - це знову ж букви, але належать вже латинському алфавіту.

В силу відособленості стародавніх держав, кожна з них розвивала науку самостійно, хто на що здатний. Примітний той факт, що альтернативна десяткова система числення була виведена ще єгиптянами. Проте "родичкою" звичного нам поняття вважати її не можна, так як принцип рахунки відрізнявся: жителі Єгипту використовували число десять як підстава, оперуючи ступенями.

З розвитком і ускладненням процесу пізнання світу з`явилася потреба виділення розрядів. Уявімо, що потрібно якось зафіксувати чисельність армії держави, яка вимірюється тисячами (в кращому випадку). Що ж тепер, нескінченно виписувати палички? Через це шумерські вчені тих років виділили систему числення, в якій розташування символу було обумовлено його розрядом. Знову ж таки, приклад: числа 789 і 987 мають один і той же "склад", але, в силу зміни розташування цифр, друге істотно більше.

Що це таке - десяткова система числення? Обгрунтування

Звичайно, позиційність і закономірність були єдиними для всіх методів підрахунку. Наприклад, у Вавилоні базою виступало число 60, в Греції - алфавітна система (число становили літери). Примітно те, що метод підрахунку жителів Вавилона живий і донині - він знайшов своє місце в астрономії.

Однак прижилася і поширилася та, у якої основа системи числення - десятка, так як простежується відверта паралель з пальцями людських рук. Посудіть самі - по черзі згинаючи пальці, можна дорахуватися мало не до нескінченної кількості.

Початок цій системі було покладено в Індії, причому вона з`явилася відразу на базі «10». Формування назв чисел було двояким - наприклад, 18 можна було прописати словом і як «вісімнадцять», і як «без двох двадцять». Також саме індійські вчені вивели таке поняття, як «нуль», офіційно його поява зафіксовано в IX столітті. Саме цей крок став основоположним у формуванні класичних позиційних систем числення, тому що нуль, незважаючи на те, що символізує порожнечу, ніщо, здатний підтримати розрядність числа, щоб воно не втратило свій сенс. Наприклад: 100000 і 1. Перше число включає в себе 6 цифр, перша з яких - одиниця, а п`ять останніх позначають порожнечу, відсутність, а друге число - просто одиниця. За логікою, вони повинні бути рівні, але на практиці це далеко не так. Нулі в 100000 позначають присутність тих розрядів, яких у другому числі немає. Ось вам і «ніщо».

Сучасність

Десяткова система числення складається з цифр від нуля до дев`яти. Числа, складені в її рамках, будуються за наступним принципом:

крайня праворуч цифра позначає одиниці, змістився на один крок вліво - отримаєте десятки, ще крок вліво - сотні і так далі. Складно? Нічого подібного! Насправді, десяткова система приклади може надати вельми наочні, взяти хоча б число 666. Складається з трьох цифр 6, кожна з яких позначає свій розряд. Причому ця форма запису є згорнутою. Якщо ви хочете підкреслити, про який саме числі йдеться, то його можна розгорнути, надавши письмову форму того, що «промовляє» ваш внутрішній голос кожного разу, коли ви бачите число - «шістсот шістдесят шість». Саме написання включає в себе всі ті ж одиниці, десятки і сотні, тобто кожна цифра позиції множиться на певну ступінь числа 10. Розгорнута форма являє собою такий вираз:

666₁₀ = 6х10² + 6 * 10¹ + 6 * 10⁰ = 600 + 60 + 6.

Актуальні альтернативи

Другий за популярністю після десяткової системи числення є досить молода різновид - двоичная (бінарна). З`явилася вона завдяки всюдисущому Лейбніца, який вважав, що в особливо складних випадках в дослідженні теорії чисел бинарность буде зручніше, ніж десятизначного. Своє повсюдне поширення вона набула з розвитком цифрових технологій, так як має в основі число 2, і елементи в ній складаються з цифр 1 і 2. Кодування інформації відбувається в даній системі, так як 1 - наявність сигналу, 0 - його відсутність. На підставі цього принципу можна показати кілька наочних прикладів, які демонструють переклад в десяткову систему числення.

З плином часу процеси, пов`язані з програмуванням, ускладнювалися, тому ввели способи запису чисел, у яких в основі лежать 8 і 16. Чому саме вони? По-перше, кількість знаків більше, а значить, саме число буде коротшим, по-друге - в їх основі лежить ступінь двійки. Вісімкова система складається з цифр 0-7, а шестнадцатеричная - з тих же цифр, що і десяткова, плюс букви від A до F.

Принципи і методи перекладу числа

Перевести в десяткову систему числення просто, досить дотримуватися наступного принципу: вихідне число записується як многочлен, який складається із сум творів кожного числа на основу "2", зведену в відповідну розрядності ступінь.

Основна формула для обчислення:

_x2 = Y_k2^k-1 + y_k-12^k-2 + y_k-22^k-3 + ...+ y₂2¹ + y₁2⁰.

Приклади перекладу

Для закріплення розглянемо декілька виразів:

101111₂ = (1x2⁵) + (0x2⁴) + (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (1x2⁰) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47₁₀.

Ускладнити завдання, бо система включає в себе переклад і дробових чисел, для цього розглянемо окремо цілу і окремо дробову частину - 111110,11_2. Отже:

111110,11₂ = (1x2⁵) + (1x2⁴) + (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62₁₀-

11₂ = 2^-1x1 + 2^-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,75_10.

У підсумку отримуємо, що 111110,11₂ = 62,75₁₀.

Висновок

Незважаючи на всю «старовину», десяткова система числення, приклади якої ми розглянули вище, все ще «на коні», і списувати її з рахунків не варто. Саме вона стає математичною основою в школі, на її прикладі пізнаються закони математичної логіки, виводиться вміння будувати вивірені взаємозв`язку. Та що вже там - практично весь світ користується саме цією системою, не бентежачись її неактуальністю. Причина для цього одна: вона зручна. В принципі, вивести основу рахунку можна будь-яку, нею при необхідності стане навіть яблуко, але навіщо ускладнювати? Ідеально вивірена кількість цифр при необхідності і по пальцях перерахувати можна.