Як обчислити площу сегмента і площа сегмента сфери

Математична величина площі відома з часів стародавньої Греції. Ще в ті далекі часи греки з`ясували, що площею є суцільна частина поверхні, яка обмежена з усіх боків замкнутим контуром. Це числова величина, яка вимірюється в квадратних одиницях. Площа є чисельної характеристикою як плоских геометричних фігур (планіметричних), так і поверхонь тіл в просторі (об`ємних).

В даний час вона зустрічається не тільки в рамках шкільної програми на уроках геометрії та математики, а й в астрономії, побуті, в будівництві, в конструкторських розробках, у виробництві і в багатьох інших сферах діяльності людини. Дуже часто до обчислення площ сегментів ми вдаємося на присадибній ділянці при оформленні ландшафтної зони або при ремонтних роботах ультрасучасного дизайну приміщення. Тому знання методів обчислення площі різних геометричних фігур згодяться завжди і скрізь.

Для обчислення площі кругового сегмента і сегмента сфери необхідно розібратися з геометричними термінами, які знадобляться при обчислювальному процесі.

Перш за все, сегментом кола називається фрагмент плоскої фігури кола, який розташований між дугою кола і відтинає її хордою. Не варто це поняття плутати з фігурою сектора. Це зовсім різні речі.

Хордою називається відрізок, який з`єднує дві точки, що лежать на колі.

Центральний кут утворюється між двома відрізками - радіусами. Він вимірюється в градусах дугою, на яку впирається.

Сегмент сфери утворюється при відсіканні якої-небудь площиною частини кулі (сфери). При цьому підставою сферичного сегмента виходить коло, а висотою є перпендикуляр, що виходить від центру кола до перетину з поверхнею сфери. Ця точка перетину називається вершиною сегмента кулі.

Для того, щоб визначити площу сегмента сфери, потрібно знати довжину кола відсіченого кола і висоту кульового сегмента. Твір цих двох складових і буде площею сегмента сфери: S = 2pi-Rh, де h - висота сегмента, 2pi-R - довжина кола, а R - радіус великого кола.

Для того, щоб обчислити площу сегмента круга, можна вдатися до наступних формулах:

1. Щоб знайти площу сегмента найпростішим способом, необхідно обчислити різницю між площею сектора, в який вписано сегмент, і площею рівнобедреного трикутника, у якого підстава є хордою сегмента: S1 = S2-S3, де S1 - площа сегмента, S2 - площа сектора і S3 - площа трикутника.

Можна скористатися наближеною формулою обчислення площі кругового сегмента: S = 2/3 * (a * h), де a - підстава трикутника або довжина хорди, h - висота сегмента, яка є результатом різниці між радіусом кола і висотою рівнобедреного трикутника.

2. Площа сегмента, відмінного від півкола, підраховується наступним чином: S = (pi- R2: 360) * alpha- ± S3, де pi- R2 - площа круга, alpha- - градусна міра центрального кута, яка містить дугу сегмента кола, S3 - площа трикутника, який утворився між двома радіусами кола і хордою, що володіє кутом в центральній точці кола і двома вершинами в місцях зіткнення радіусів з колом.

Якщо кут alpha- < 180 градусов, используется знак минус, если &alpha- > 180 градусів, застосовується знак плюс.

3. Обчислити площу сегмента можна і іншими методами за допомогою тригонометрії. Як правило, за основу береться трикутник. Якщо центральний кут вимірюється в градусах, тоді прийнятна наступна формула: S = R2 * (pi - * (alpha- / 180) - sin alpha -) / 2, де R2 - квадрат радіуса кола, alpha- - градусна міра центрального кута.

4. Щоб розрахувати площа сегмента за допомогою тригонометричних функцій, можна скористатися і іншою формулою за умови, що центральний кут вимірюється в радіанах: S = R2 * (alpha- - sin alpha -) / 2, де R2 - квадрат радіуса кола, alpha- - градусна міра центрального кута.