Геометрична прогресія та її властивості

Геометрична прогресія має важливе значення в математиці як науці, так і в прикладному значенні, оскільки має надзвичайно широку сферу застосування, навіть у вищої математики, скажімо, в теорії рядів. Перші відомості про прогресіях дійшли до нас із Стародавнього Єгипту, зокрема, у вигляді відомої задачі з папірусу Райнд про сім осіб, які мають по сім кішок. Варіації цього завдання багато разів повторювалися в різні часи у інших народів. Навіть великий Леонардо Пізанський, більш відомий як Фібоначчі (XIII ст.), Звернувся до неї у своїй «Книзі про абаці».

Так що, геометрична прогресія має давню історію. Вона являє собою числову послідовність з відмінним від нуля першим членом, а кожний наступний, починаючи з другого, визначається за рекуррентной формулою множенням попереднього на постійне, відмінне від нуля число, яке називається знаменником прогресії (його зазвичай позначають, використовуючи букву q).
Очевидно, що його можна знайти діленням кожного наступного члена послідовності на попередній, тобто z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Отже, для завдання самої прогресії (zn) достатньо, щоб було відомо значення її першого члена y 1 і знаменника q.

Наприклад, припустимо z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), тогда получается следующая геометрическая прогрессия 7, - 28, 112, - 448, ... . Как видим, полученная последовательность не монотонная.

Згадаймо, що довільна послідовність монотонна (зростаюча / спадна), коли кожен з її наступних членів більше / менше, ніж попередній. Наприклад, послідовності 2, 5, 9, ... і -10, -100, -1000, ... - монотонні, причому друга з них - це спадна геометрична прогресія.

У випадку, коли q = 1, в прогресії всі члени виходять рівними і її називають постійною.

Для того щоб послідовність була прогресією цього типу, вона повинна задовольняти наступній необхідні і достатні умови, а саме: починаючи з другого, кожен з її членів повинен бути середнім геометричним сусідніх з ним членів.

Ця властивість дозволяє при відомих двох поруч стоять знаходити довільний член прогресії.

n-ий член геометричної прогресії легко знайти за формулою: zn = z 1 * q ^ (n-1), знаючи перший член z 1 і знаменник q.

Оскільки числова послідовність має суму, то кілька простих викладок дадуть нам формулу, що дозволяє обчислити суму перших членів прогресії, а саме:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Замінивши у формулі значення zn його виразом z 1 * q ^ (n-1), отримують другу формулу суми даної прогресії: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Вартий уваги наступний цікавий факт: глиняна табличка, знайденої при розкопках Стародавнього Вавилона, яка відноситься до VI ст. до нашої ери, чудовим чином містить суму 1 + 2 + 22 + ... + 29, рівну 2 в десятому ступені мінус 1. Розгадка цього феномена поки не знайдена.

Відзначимо ще одна з властивостей геометричній прогресії - постійне твір її членів, віддалених на рівній відстані від кінців послідовності.

Особливу важливість з наукової точки зору являє таке поняття, як нескінченна геометрична прогресія і обчислення її суми. Якщо припустити, що (yn) - геометрична прогресія, що має знаменник q, що задовольняє умові | q |< 1, то ее суммой будет называться предел, к которому стремится известная уже нам сумма ее первых членов, при неограниченном возрастании n, то есть при его приближении к бесконечности.

Знаходять цю суму в підсумку за допомогою формули:

S n = y 1 / (1 q).

І, як показала практика, за видимою простотою цієї прогресії прихований величезний прикладної потенціал. Приміром, якщо побудувати послідовність квадратів за наступним алгоритмом, з`єднуючи середини сторін попереднього, то їх площі утворюють нескінченну геометричну прогресію, що має знаменник 1/2. Таку ж прогресію утворюють і площі трикутників, утворюються на кожному етапі побудови, причому її сума дорівнює площі первісного квадрата.