Як знаходити висоту в трикутник? Формула знаходження, властивості висоти в трикутник

Геометрія - це не тільки предмет в школі, за яким потрібно отримати відмінну оцінку. Це ще й знання, які часто потрібні в житті. Наприклад, при будівництві будинку з високим дахом необхідно розрахувати товщину колод і їх кількість. Це нескладно, якщо знати, як знаходити висоту в трикутник. Архітектурні споруди базуються на знанні властивостей геометричних фігур. Форми будівель часто візуально нагадують їх. Єгипетські піраміди, пакети з молоком, художня вишивка, північні розпису і навіть пиріжки - це все трикутники, що оточують людину. Як казав Платон, весь світ базується на трикутниках.

Трикутник

Щоб було зрозуміліше, про що далі піде мова, варто трохи пригадати ази геометрії.

Трикутник є рівнобедреним, якщо він має дві рівних сторони. Їх завжди називають бічними. Сторона, розміри якої відрізняються, отримала назву підстави.

Основні поняття

Як і будь-яка наука, геометрія має свої основні правила і поняття. Їх досить багато. Розглянемо лише ті, без яких наша тема буде кілька незрозуміла.

Висота - це пряма лінія, проведена перпендикулярно до протилежної сторони.

Медіана - це відрізок, спрямований з будь-якої вершини трикутника виключно до середини протилежної сторони.

Бісектриса кута - це промінь, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса трикутника - це пряма, вірніше, відрізок бісектриси кута, з`єднує вершину з протилежною стороною.

Дуже важливо запам`ятати, що бісектриса кута - це обов`язково промінь, а бісектриса трикутника - це частина такого променя.

Кути при основі

Теорема свідчить, що кути, розташовані при підставі будь-якого рівнобедреного трикутника, завжди рівні. Довести цю теорему дуже просто. Розглянемо зображений трикутник АВС, у якого АВ = ВС. З кута АВС необхідно провести бісектрису ВД. Тепер слід розглянути два отриманих трикутника. За умовою АВ = ВС, сторона ВД у трикутників загальна, а кути АВД і СВД рівні, адже ВД - бісектриса. Згадавши перша ознака рівності, можна сміливо зробити висновок, що розглянуті трикутники рівні. А отже, рівні всі відповідні кути. І, звичайно, сторони, але до цього моменту повернемося пізніше.

Висота рівнобедреного трикутника

Основна теорема, на якій базується рішення практично всіх задач, звучить так: висота в трикутник є бісектрисою і медіаною. Щоб зрозуміти її практичний сенс (або суть), слід зробити допоміжне посібник. Для цього необхідно вирізати з паперу трикутник. Найлегше це зробити зі звичайного тетрадного листка в клітинку.

Зігніть отриманий трикутник навпіл, поєднавши бічні сторони. Що вийшло? Два рівних трикутника. Тепер слід перевірити припущення. Розгорніть отримане орігамі. Прокреслите лінію згину. За допомогою транспортира перевірте кут між прокресленою лінією і підставою трикутника. Про що говорить кут в 90 градусів? Про те, що прокреслена лінія - перпендикуляр. За визначенням - висота. Як знаходити висоту в трикутник, ми розібралися. Тепер займемося кутами при вершині. За допомогою того ж транспортира перевірте кути, утворені тепер уже заввишки. Вони рівні. Значить, висота одночасно є і бісектрисою. Озброївшись лінійкою, виміряйте відрізки, на які розбиває висота підставу. Вони рівні. Отже, висота в трикутник ділить підставу навпіл і є медіаною.

Доказ теореми

Наочний посібник яскраво демонструє істинність теореми. Але геометрія - наука досить точна, тому вимагає доказів.

Під час розгляду рівності кутів при підставі було доведено рівність трикутників. Нагадаємо, ВД - бісектриса, а трикутники АВД і СВД рівні. Висновок був такий: відповідні сторони трикутника і, природно, кути рівні. Значить, АТ = СД. Отже, ВД - медіана. Залишилося довести, що ВД є заввишки. Виходячи з рівності розглянутих трикутників, виходить, що кут АДВ дорівнює куту СДВ. Але ці два кути є суміжними, і, як відомо, дають у сумі 180 градусів. Отже, чому вони рівні? Звичайно, 90 градусам. Таким чином, ВД - це висота в трикутник, проведена до основи. Що і треба було довести.

Основні ознаки

• Щоб успішно вирішувати завдання, слід запам`ятати основні ознаки рівнобедрених трикутників. Вони ніби зворотна теорема.
• Якщо в ході рішення задачі виявляється рівність двох кутів, значить, ви маєте справу з рівнобедреного трикутника.
• Якщо вдалося довести, що медіана є одночасно і висотою трикутника, сміливо укладайте - трикутник рівнобедрений.
• Якщо бісектриса є і висотою, то, спираючись на основні ознаки, трикутник відносять до рівнобедреним.
• І, звичайно, якщо медіана виступає і в ролі висоти, то такий трикутник - рівнобедрений.

Формула висоти 1

Однак для більшості завдань потрібно знайти арифметичну величину висоти. Саме тому розглянемо, як знаходити висоту в трикутник.

Повернемося до представленої вище фігурі АВС, у якої а - бічні сторони, в - підстава. ВД - висота цього трикутника, вона має позначення h.

Що являє собою трикутник АВД? Так як ВД - висота, то трикутник АВД - прямокутний, катет якого необхідно знайти. Скориставшись формулою Піфагора, отримуємо:

АВsup2- = АДsup2- + ВДsup2-

Визначивши з виразу ВД і підставивши прийняті раніше позначення, отримаємо:

Нsup2- = аsup2- - (в / 2) sup2-.

Необхідно витягти корінь:

Н = radic-аsup2- - вsup2- / 4.

Якщо винести з під знака кореня frac14-, то формула буде мати вигляд:

Н = frac12- radic-4аsup2- - вsup2-.

Так перебуває висота в трикутник. Формула випливає з теореми Піфагора. Навіть якщо забути цю символічну запис, то, знаючи метод знаходження, завжди можна її вивести.

Формула висоти 2

Формула, описана вище, є основною і найчастіше використовується при вирішенні більшості геометричних задач. Але вона не єдина. Іноді в умови, замість підстави, дано значення кута. При таких даних як знаходити висоту в трикутник? Для вирішення подібних завдань доцільно використовувати іншу формулу:

Н = а / sin alpha-,

де Н - висота, спрямована до основи,

а - бічна сторона,

alpha- - кут при основі.

Якщо в задачі дано значення кута при вершині, то висота в трикутник знаходиться наступним чином:

Н = а / cos (beta- / 2),

де Н - висота, опущена на основу ,,

beta- - кут при вершині,

а - бічна сторона.

Прямокутний трикутник

Дуже цікавою властивістю володіє трикутник, вершина якого дорівнює 90 градусам. Розглянемо прямокутний трикутник АВС. Як і в попередніх випадках, ВД - висота, спрямована до основи.

Кути при основі рівні. Обчислити їх великих труднощів не складе:

alpha- = (180 - 90) / 2.

Таким чином, кути, що знаходяться при підставі, завжди по 45 градусів. Тепер розглянемо трикутник АДВ. Він також є прямокутним. Знайдемо кут АВД. Шляхом нескладних обчислень одержуємо 45 градусів. А, отже, цей трикутник не тільки прямокутний, а й рівнобедрений. Сторони АД і ВД є бічними сторонами і рівні між собою.

Але сторона АД в той же час є половиною боку АС. Виходить, що висота в трикутник дорівнює половині підстави, а якщо записати у вигляді формули, то отримаємо такий вираз:

Н = в / 2.

Слід не забувати, що дана формула є виключно приватною випадком, і може бути використана тільки для прямокутних рівнобедрених трикутників.

Золоті трикутники

Дуже цікавим є золотий трикутник. У цій фігурі ставлення бічної сторони до основи дорівнює величині, названої числом Фідія. Кут, розташований при вершині - 36 градусів, при підставі - 72 градуси. Цим трикутником захоплювалися піфагорійці. Принципи золотого трикутника покладені в основу безлічі безсмертних шедеврів. Відома всім п`ятикутна зірка побудована на перетині рівнобедрених трикутників. Для багатьох творінь Леонардо да Вінчі використовував принцип «золотого трикутника». Композиція «Джоконди» заснована саме на фігурах, які створюють собою правильний зірчастий п`ятикутник.

Картина «Кубізм», одне з творінь Пабло Пікассо, заворожує погляд покладеними в основу рівнобедреного трикутника.