Перша ознака рівності трикутників. Другий і третій ознаки рівності трикутників

Серед величезної кількості багатокутників, які по суті є замкнутою непересічною ламаною лінією, трикутник - це фігура з найменшою кількістю кутів. Іншими словами, це найпростіший багатокутник. Але, незважаючи на всю свою простоту, ця фігура таїть у собі багато загадок і цікавих відкриттів, які висвітлюються особливим розділом математики - геометрією. Цю дисципліну в школах починають викладати з сьомого класу, і теми «Трикутник» тут приділяється особлива увага. Діти не тільки дізнаються правила про самої постаті, а й порівнюють їх, вивчаючи 1, 2 і 3 ознака рівності трикутників.

Перше знайомство

Один з перших правил, з яким знайомляться школярі, звучить приблизно так: сума величин всіх кутів трикутника дорівнює 180 градусам. Щоб це підтвердити, достатньо за допомогою транспортира виміряти кожну з вершин і скласти всі отримані значення. Виходячи з цього, при двох відомих величинах легко визначити третю. Наприклад: У трикутнику один з кутів дорівнює 70 °, а інший - 85 °, яка величина третього кута?

180 - 85 - 70 = 25.

Відповідь: 25 °.

Завдання можуть бути і більш складними, якщо вказано лише одне значення кута, а про другу величину сказано лише, на скільки або в скільки разів вона більше або менше.

У трикутнику для визначення тих чи інших його особливостей можуть бути проведені особливі лінії, кожна з яких має свою назву:

• висота - перпендикулярна пряма, проведена з вершини до протилежної стороні;
• всі три висоти, проведені одночасно, в центрі фігури перетинаються, утворюючи ортоцентр, який в залежності від виду трикутника може знаходитися як всередині, так і зовні;
• медіана - лінія, що з`єднує вершину з серединою противолежащей боку;
• перетин медіан є точкою його тяжкості, знаходиться всередині фігури;
• бісектриса - лінія, що проходить від вершини до точки перетину з противолежащей стороною, точка перетину трьох биссектрис є центром вписаного кола.

Прості істини про трикутниках

Трикутники, як, власне, і всі фігури, мають свої особливості і властивості. Як вже говорилося, ця фігура є найпростішим многоугольником, але зі своїми характерними ознаками:

• проти самої довгої сторони завжди лежить кут з більшою величиною, і навпаки;
• проти рівних сторін лежать рівні кути, приклад тому - рівнобедрений треугольнік;
• сума внутрішніх кутів завжди дорівнює 180 °, що вже було продемонстровано на прімере;
• при продовженні однієї сторони трикутника за його межі утворюється зовнішній кут, який завжди буде дорівнює сумі кутів, з ним не смежних;
• будь-яка із сторін завжди менше суми двох інших сторін, але більше їх різниці.

Види трикутників

Наступний етап знайомства полягає у визначенні групи, до якої відноситься представлений трикутник. Належність до того чи іншого виду залежить від величин кутів трикутника.

• Рівнобедрений - з двома рівними сторонами, які називають бічними, третя в цьому випадку виступає підставою фігури. Кути біля основи такого трикутника однакові, а медіана, проведена з вершини, є бісектрисою і висотою.
• Правильний, або рівносторонній трикутник, - це той, у якого всі його сторони рівні.
• Прямокутний: один з його кутів дорівнює 90 °. У цьому випадку сторона, протилежна цьому кутку, називається гіпотенузою, а дві інші - катетами.
• Гострокутний трикутник - всі кути менше 90 °.
• Тупоугольние - один з кутів більше 90 °.

Рівність і подібність трикутників

У процесі навчання не тільки розглядають окремо взяту фігуру, але і порівнюють два трикутника. І ця, здавалося б, проста тема має масу правил і теорем, за якими можна довести що розглянуті фігури - рівні трикутники. Ознаки рівності трикутників мають таке визначення: трикутники рівні, якщо їх відповідні сторони і кути однакові. При такому рівність, якщо накласти ці дві фігури один на одного, всі їхні лінії зійдуться. Також фігури можуть бути подібними, зокрема, це стосується практично однакових фігур, що відрізняються лише величиною. Для того щоб зробити такий висновок про представлені трикутниках, необхідне дотримання однієї з наступних умов:

• два кути однієї фігури рівні двом кутам іншого;
• дві сторони одного пропорційні двом сторонам другого трикутника, а величини кутів, утворених сторонами, рівними
• три сторони другої фігури такі ж, як і у першому.

Звичайно, для безперечного рівності, яке не викличе жодного сумніву, необхідно мати однакові значення всіх елементів обох фігур, однак з використанням теорем завдання значно спрощується, і для доказу рівності трикутників допускається наявність лише декількох умов.

Перша ознака рівності трикутників

Завдання по цій темі вирішуються на основі доведення теореми, яка звучить так: "Якщо дві сторони трикутника і кут, який вони утворюють, рівні двом сторонам і куту іншого трикутника, то і фігури теж рівні між собою".

Як же звучить доказ теореми про перший ознака рівності трикутників? Всім відомо, що два відрізки рівні, якщо вони однієї довжини, або кола рівні, якщо мають однаковий радіус. А у випадку з трикутниками є кілька ознак, маючи які, можна припустити, що фігури ідентичні, що дуже зручно використовувати при вирішенні різних геометричних задач.

Як звучить теорема «Перша ознака рівності трикутників», описано вище, а от її доказ:

• Припустимо, трикутники АВС і А₁В₁З₁ мають однакові сторони АВ і А₁В₁ і, відповідно, ВС і В₁З₁, а кути, які утворюються цими сторонами, мають одну і ту ж величину, тобто рівні. Тоді, наклавши? ABC на? А₁В₁З_1, отримаємо збіг всіх ліній і вершин. Звідси випливає, що ці трикутники абсолютно ідентичні, а значить, рівні між собою.

Теорему «Перша ознака рівності трикутників» називають ще «По двох сторонах і куту». Власне, в цьому і полягає її суть.

Теорема про другий ознаці

Друга ознака рівності доводиться аналогічно, доказ грунтується на тому, що при накладенні фігур один на одного вони повністю збігаються по всіх вершин і сторонам. А звучить теорема так: "Якщо одна сторона і два кути, в утворенні яких вона бере участь, відповідають стороні і двом кутам другого трикутника, то ці фігури ідентичні, тобто рівні".

Третя ознака і доказ

Якщо як 2, так і 1 ознака рівності трикутників стосувався як сторін, так і кутів фігури, то третій відноситься лише до сторін. Отже, теорема має наступне формулювання: "Якщо всі сторони одного трикутника рівні трьом сторонам другого трикутника, то фігури ідентичні".

Щоб довести цю теорему, потрібно більш детально заглибитись у саме визначення рівності. По суті, що означає вислів «трикутники рівні»? Ідентичність говорить про те, що якщо накласти одну фігуру на іншу, всі їх елементи співпадуть, це може бути тільки в тому випадку, коли їх сторони і кути будуть рівні. У той же час кут, протилежний однієї зі сторін, яка така ж, як у іншого трикутника, буде дорівнює відповідній вершині другої фігури. Слід зазначити, що в цьому місці доказ легко перевести на 1 ознака рівності трикутників. У разі якщо така послідовність не спостерігається, рівність трикутників просто неможливо, за винятком тих випадків, коли фігура є дзеркальним відображенням першої.

Прямокутні трикутники

У будові таких трикутників завжди є вершини з величиною кута 90 °. Тому справедливі наступні твердження:

• трикутники з прямим кутом рівні, якщо катети одного ідентичні катетам другого;
• фігури рівні, якщо рівні їх гіпотенузи і один з катетов;
• такі трикутники рівні, якщо їх катети і гострий кут ідентичні.

Ця ознака відноситься до прямокутного трикутника. Для доведення теореми застосовують додаток фігур один до одного, в результаті якого трикутники складають катетами так, щоб з двох прямих вийшов розгорнутий кут зі сторонами СА і СА₁.

Практичне застосування

У більшості випадків на практиці застосовується перша ознака рівності трикутників. Насправді така, здавалося б, проста тема 7 класу з геометрії та планіметрії використовується і для обчислення довжини, наприклад, телефонного кабелю без замірів місцевості, по якій він буде проходити. За допомогою цієї теореми легко зробити необхідні розрахунки для визначення довжини острова, що знаходиться посеред річки, чи не перепливаючи на нього. Або зміцнити паркан, розташувавши планку в прольоті так, щоб вона ділила його на два рівних трикутника, або ж розрахувати складні елементи роботи в столярній справі, або при розрахунку кроквяної системи даху під час будівництва.

Перша ознака рівності трикутників має широке застосування в реальній «дорослого» життя. Хоча в шкільні роки саме ця тема для багатьох здається нудною і абсолютно непотрібною.