Що таке квадрат? Як знайти вершини, перетин, площина, рівняння, обсяг, площа підстави і кут квадрата?

Відповідей на питання про те, що таке квадрат, може бути безліч. Все залежить від того, кому ви це питання адресували. Музикант скаже, що квадрат - це 4, 8, 16, 32 такту або джазова імпровізація. Дитина - що це гра з м`ячем або дитячий журнал. Друкар відправить вас вивчати кеглі шрифту, а технік - різновиду металопрокатного профілю.

Багато й інших значень у цього слова, але сьогодні ми поставимо питання математику. Отже ...

Розбиратися з цією фігурою ми будемо поступово, від простого до складного, і почнемо з історії квадрата. Як він з`явився, як його сприймали люди, вчені різних країн і цивілізацій?

Історія вивчення квадрата

Стародавній світ сприймає квадрат, головним чином, як чотири сторони світу. Взагалі, незважаючи на безліч чотирикутників, саме у квадрата головне число - чотири. Для ассірійців і перуанців квадрат - весь світ, тобто він представляє чотири основних напрямки, сторони світу.

Навіть Всесвіт представляли як квадрат, ще й розділений на чотири частини - це бачення жителів Північної Америки. Для кельтів всесвіт - це цілих три квадрата, вкладених один в одного, а з центру випливають чотири (!) Річки. А єгиптяни взагалі обожнювали цю фігуру!

Вперше описали квадрат допомогою математичних формул греки. Але для них цей багатокутник володів тільки негативними характеристиками. Піфагор взагалі не любив парні числа, вбачаючи в них слабкість і жіночність.

Навіть у релігіях присутній квадрат. В Ісламі Кааба - пуп Землі - має не яку-небудь сферичну, а саме кубічну форму.

В Індії головною графеми, що зображує Землю, або символом землі, був перехрещений квадрат. І знову йдеться про чотири сторони світла, чотирьох областях землі.

У Китаї квадрат - це світ, гармонія і порядок. Хаос перемагається побудовою квадратної Вари. А квадрат, вписаний в коло, є основою бачення світу, символізуючи єдність і зв`язок Космосу і Землі.

Язичницька Русь - Квадрат Сварога. Цей символ ще називають Зіркою Сварога, або Зіркою Русі. Він досить складний, оскільки складений з пересічних і замкнутих ліній. Сварог - бог-Коваль, найголовніший творець, творець і саме небо в уявленні русичів. У цьому символі є ромб, що знову говорить про Землю та чотирьох її напрямках. І зірка з чотирма променями - 4 сторони світу, 4 лику Сварога - його всезнання. А перетин променів - вогнище.

Цікаве про квадраті

Найпопулярніше словосполучення, яке приходить в голову про наш головному герої - "Чорний Квадрат".

Картина Малевича досі дуже популярна. Сам автор після її створення довго мучився питанням про те, що ж це таке, і чому простий чорний квадрат на білому тлі так притягує увагу до себе.

Але якщо ви придивитеся уважно, то помітите, що площина квадрата не гладко, а в тріщинах чорної фарби є безліч різнокольорових відтінків. Мабуть, спочатку була якась композиція, яка автору не сподобалася, і він закрив її від наших очей цією фігурою. Чорний квадрат, як ніщо - чорна діра, тільки магічною квадратної форми. А порожнеча, як відомо, притягує ...

Ще дуже популярні "магічні квадрати". По суті це - таблиця, природно, квадратна, заповнена числами в кожній графі. Сума цих чисел однакова у всіх рядках, стовпчиках і діагоналях (окремо). Якщо діагоналі виключаються з рівності, то квадрат - напівмагічний.

Альбрехт Дюрер в 1514 році створив картину "Меланхолія I", на якій зобразив магічний квадрат 4х4. У ньому сума чисел всіх стовпців, рядків, діагоналей і навіть внутрішніх квадратів дорівнює тридцяти чотирьом.

На базі цих таблиць з`явилися дуже цікаві і популярні головоломки - "Судоку".

Єгиптяни першими стали проводити лінії взаємозв`язку чисел (дата народження) і якостей характеру, здібностей і талантів людини. Піфагор взяв ці знання, кілька переробив і помістив в квадрат. Вийшов Квадрат Піфагора.

Це вже окремий напрямок в нумерології. З дати народження людини шляхом складань вираховують чотири основні числа, які поміщають в психоматриці (квадрат). Так і розкладають всі таємні відомості про вашої енергії, здоров`я, талант, удачі, темпераменті та інше по поличках. В середньому, за опитуваннями достовірність становить 60% -80%.

Що таке квадрат?

Квадратом називають геометричну фігуру. Форма квадрата - чотирикутник, який має рівні сторони і кути. Ще точніше, цей чотирикутник називають правильним.

У квадрата є свої ознаки. Це:

• боку, рівні за дліне;
• рівні між собою кути - прямі (по 90 градусів).

В силу цих ознак і особливостей в квадрат можна вписати коло і описати її навколо нього. Описана окружність буде стосуватися всіх його вершин, вписана - середини всіх його сторін. Їх центр буде збігатися з центром квадрата і розділить всі його діагоналі навпіл. Останні, в свою чергу, рівні між собою і ділять кути квадрата на рівні частини.

Одна діагональ поділяє квадрат на два рівнобедрених трикутника, обидві - на чотири.

Таким чином, якщо довжина сторони квадрата - t, довжина радіуса описаного кола - R, а вписаною - r, то

• площа підстави квадрата, або площа квадрата (S) буде дорівнює S = t²= 2R²= 4r²;

• периметр квадрата P слід обчислювати за формулою P = 4t = 4radic-2R = 8r;

• довжину радіуса описаного кола R = (radic-2/2) t;

• вписаною - r = t / 2.

Площа підстави квадрата ще можна обчислити, знаючи його сторону (a) або довжину його діагоналі (c), тоді формули будуть виглядати відповідно: S = a² і S = 1 / 2c².

Що таке квадрат, ми з вами з`ясували. Давайте докладніше розглянемо деталі, адже фігура квадрат самий симетричний чотирикутник. У нього п`ять осей симетрії, причому одна (четвертого порядку) проходить через центр і є перпендикуляром до площини самого квадрата, а чотири інші - осі симетрії другого порядку, дві з них паралельні сторонам, а ще дві проходять через діагоналі квадрата.

Способи побудови квадрата

Виходячи з визначень, здається, що немає нічого простішого, ніж побудувати правильний квадрат. Це так, але за умови, що у вас є всі вимірювальні інструменти. А якщо чогось немає в наявності?

Давайте розглянемо існуючі способи, які допоможуть нам побудувати цю фігуру.

Вимірювальна лінійка і косинець - це основні інструменти, за допомогою яких найбільш просто можна побудувати квадрат.

Спочатку відзначте точку, припустимо А, від неї ми побудуємо підставу квадрата.

За допомогою лінійки відкладіть від неї вправо відстань, рівну довжині сторони, припустимо 30 мм, і поставте крапку Б.

Тепер від обох точок, скориставшись косинцем, проведіть вгору перпендикуляри по 30 мм кожний. На кінцях перпендикулярів ставимо крапки В і Г, які з`єднуємо між собою, користуючись лінійкою - все, квадрат АБВГ зі стороною 30 мм готовий!

За допомогою лінійки і транспортира теж досить легко побудувати квадрат. Почніть, як і в попередньому випадку з точки, припустимо Н, від неї відкладіть горизонтальний відрізок, наприклад 50 мм. Поставте крапку О.

Тепер центр транспортира з`єднайте з точкою Н, поставте позначку у величини кута 90<sup>0</sup>, через неї і точку Н побудуйте вертикальний відрізок 50 мм, на його кінці поставте крапку П. Далі подібним чином побудуйте третій відрізок від точки О через кут 90<sup>0</sup>, рівний 50 мм, нехай він закінчується точкою Р. З`єднайте точки П і Р. У вас вийшов квадрат НОРП з довжиною сторони 50 мм.

Можна побудувати квадрат, користуючись лише циркулем і лінійкою. Якщо вам важливий розмір квадрата і відома довжина сторони, то знадобиться ще і калькулятор.

Отже, ставте першу точку Е - це буде вона з вершин квадрата. Далі вкажіть місце, де буде знаходиться протилежна вершина Ж, тобто постійте діагональ ЕЖ вашої фігури. Якщо ви будуєте квадрат за розмірами, то маючи довжину сторони, розрахуйте довжину діагоналі за формулою:

d = radic-2 * a, де a - довжина сторони.

Після того як ви дізнаєтеся довжину діагоналі, побудуйте відрізок ЕЖ цієї величини. З точки Е за допомогою циркуля в напрямку точки Ж проведіть півколо радіусом ЕЖ. І навпаки, з точки Ж - півколо в бік точки Е, радіусом Ж. Через точки перетину цих напівкіл, користуючись лінійкою, побудуйте відрізок ЗІ. ЕЖ і ЗІ перетинаються під прямим кутом і є діагоналями майбутнього квадрата. Поєднавши точки ОІ, ІЖ, ЖЗ і ЗЕ за допомогою лінійки, ви отримаєте вписаний квадрат ЕІЖЗ.

Ще є можливість побудувати квадрат за допомогою однієї лінійки. Що таке квадрат? Це ділянка площині, обмежений пересічними відрізками (лініями, променями). Отже, ми можемо побудувати квадрат за координатами його вершин. Спочатку накресліть осі координат. Сторони квадрата можуть лежати на них, або центр перетину діагоналей буде збігатися з точкою початку координат - це залежить від вашого бажання або умов завдання. Можливо, ваша фігура буде відстояти від осей на деякій відстані. У будь-якому випадку, спочатку відзначаєте по числовим значенням (довільно або умовно) дві точки, тоді вам буде відома довжина сторони квадрата. Тепер можна обчислити координати решти двох вершин, пам`ятаючи, що сторони квадрата рівні і між собою попарно паралельні. Останній крок - з`єднати всі точки послідовно між собою за допомогою лінійки.

Які бувають квадрати?

Квадрат - фігура чітко визначена і жорстко обмежена своїми визначеннями, тому види квадратів не відрізняються різноманіттям.

У неевклідової геометрії квадрат сприймається більш широко - це чотирикутник з рівними сторонами і кутами, але градус кутів не заданий. Це означає, що кути можуть бути і по 120 градусів ("опуклий" квадрат) і, наприклад, по 72 градуса ("увігнутий" квадрат).

Якщо ви запитаєте, що таке квадрат, у геометра або інформатика, вам дадуть відповідь, що - це повний або планарний граф (графи з К₁ по До₄). І це абсолютно справедливо. У графа є вершини і ребра. Коли вони встають в упорядковану пару, утворюється граф. Число вершин - це порядок графа, число ребер - його розмір. Таким чином, квадрат - це планарний граф з чотирма вершинами і шістьма ребрами, або До₄: 6.

Сторона квадрата

Одна з головних умов існування квадрата - наявність рівних по довжині сторін - робить сторону дуже важливою для різних обчислень. Але в той же час дає багато способів, щоб довжина сторони квадрата була обчислена при наявності самих різних вихідних даних.

Отже, як знайти значення сторони квадрата?

• Якщо вам відома тільки довжина діагоналі квадрата d, то обчислити сторону можна за наступною формулою: a = d / radic-2.
• Діаметр вписаного кола дорівнює стороні квадрата і, отже, двом радіусів, тобто: a = D = 2R.
• Радіус описаного кола теж може допомогти обчислити, чому дорівнює сторона квадрата. Ми можемо по радіусу R дізнатися діаметр D, який, у свою чергу, дорівнює діагоналі квадрата d, а формулу для сторони квадрата через діагональ ми вже знаємо: a = D / radic-2 = d / radic-2 = 2R / radic-2 .
• З рівності сторін випливає, що дізнатися сторону квадрата (a) можна за допомогою його периметра P або площі S: a = radic-S = P / 4.
• Якщо ми знаємо довжину лінії, яка виходить з кута квадрата і перетинає середину його суміжній боку C, то нам також вдасться дізнатися, яка ж довжина сторони квадрата: a = 2C / radic-5.

Ось скільки способів існує, щоб з`ясувати такий важливий параметр, як довжина сторони квадрата.

Обсяг квадрата

Сама фраза є абсурдом. Що таке квадрат? Це плоска фігура, що має всього два параметри - довжину і ширину. А обсяг? Це кількісна характеристика простору, який займає об`єкт, тобто її можна обчислити тільки у об`ємних тел.

Об`ємне тіло, всіма гранями якого є квадрати, - куб. Незважаючи на колосальну і принципове розходження, школярі досить часто намагаються обчислити об`єм квадрата. Якщо це комусь вдасться, Нобелівська премія забезпечена.

А щоб дізнатися обсяг куба V, досить перемножити всі три його ребра - a, b, c: V = a * b * c. А так як вони за визначенням рівні, то формула може виглядати інакше: V = a³.

Величини, частини і характеристики

У квадрата, як і у будь-якого багатокутника, є вершини - це точки, в яких перетинаються його боку. Вершини квадрата лежать на описаної навколо нього кола. Через вершину в центр квадрата проходить діагональ, яка також є бісектрисою і радіусом описаного кола.

Так як квадрат - це плоска фігура, то розсікти і побудувати переріз квадрата неможливо. Зате він може бути результатом перетину багатьох об`ємних тіл площиною. Наприклад, циліндра. Осьовий переріз у циліндра - прямокутник або квадрат. Навіть при перетині тіла площиною під довільним кутом може вийти квадрат!

Але у квадрата є ще одне відношення до перетину, та не до якого-небудь, а до Золотого перетину.

Всі ми знаємо, що Золотий перетин - це пропорція, в якій одна величина відноситься до іншої так само, як їх сума до більшої величині. В узагальненому процентному вираженні це виглядає наступним чином: вихідна величина (сума) ділиться на 62 і 38 відсотків.

Золотий перетин дуже популярно. Воно використовується в дизайні, архітектурі, та де завгодно, навіть в економіці. Але це далеко не єдина пропорція, виведена Пифагором. Є, наприклад, ще вираз "radic-2". На його основі проводиться побудова динамічних прямокутників, які, в свою чергу, є основоположниками форматів групи А (А6, А5, А4 тощо). Чому мова зайшла про динамічні прямокутниках? Тому що їх побудова починається з квадрата.

Так, для початку вам потрібно побудувати квадрат. Його сторона буде рівна меншій стороні майбутнього прямокутника. Потім необхідно провести діагональ цього квадрата і, скориставшись циркулем, довжину цієї діагоналі відкласти на продовженні сторони квадрата. З отриманої на перетині точки вибудовуємо прямокутник, у якого знову будуємо діагональ і відкладаємо її довжину на продовженні сторони. Якщо продовжити роботу за цією схемою, вийдуть ті самі динамічні прямокутники.

Ставлення довгої сторони першого прямокутника до короткої буде 0,7. Це майже 0,68 в Золотому перетині.

Кути квадрата

Власне, щось свіже сказати про кути вже складно. Всі властивості, вони ж ознаки квадрата, ми перерахували. Що стосується кутів, їх чотири (як і у всякому чотирикутнику), кожен кут в квадраті - прямий, тобто має розмір дев`яносто градусів. За визначенням, існує лише прямокутний квадрат. Якщо кути більшого чи меншого розміру - це вже інша фігура.

Діагоналі квадрата ділять його кути навпіл, тобто є биссектрисами.

Рівняння квадрата

При необхідності обчислити значення різних величин у квадрата (площі, периметру, довжин сторін або діагоналей) використовують різні рівняння, які виводяться з властивостей квадрата, основних законів і правил геометрії.

1. Рівняння площі квадрата

З рівнянь для обчислення площі чотирикутників ми знаємо, що вона (площа) дорівнює добутку довжини і ширини. А так як сторони квадрата однакові по довжині, то площа його буде дорівнює довжині будь-якої сторони, зведеної в другу ступінь

S = a².

Використовуючи теорему Піфагора, ми можемо обчислити площу квадрата, знаючи довжину його діагоналі.

S = d²/ 2.

2. Рівняння периметра квадрата

Периметр квадрата, як і всіх чотирикутників, дорівнює сумі довжин його сторін, а так як вони всі однакові, то можна сказати, що периметр квадрата дорівнює довжині сторони, помноженої на чотири

P = a + a + a + a = 4a.

Знову теорема Піфагора допоможе нам знайти периметр через діагональ. Потрібно значення довжини діагоналі помножити на два кореня з двох

P = 2radic-2d

3. Рівняння діагоналі квадрата

Діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом і діляться точкою перетину навпіл.

Знайти їх можна, виходячи з вищенаведених рівнянь площі та периметра квадрата

d = radic-2 * a, d = radic-2S, d = P / 2radic-2

Є ще способи дізнатися, яка ж довжина діагоналі квадрата. Радіус вписаного в квадрат кола дорівнює половині його діагоналі, звідси

d = radic-2D = 2radic-2R, де D - діаметр, а R - радіус вписаного кола.

Знаючи радіус описаного кола, розрахувати діагональ ще простіше, адже вона є діаметром, тобто d = D = 2R.

Також є можливість обчислити довжину діагоналі, знаючи довжину лінії, що виходить з кута до центру сторони квадрата C: d = radic-8/5 * C.

Але не варто забувати, що квадрат - це ділянка площині, обмежений чотирма пересічними лініями.

Для ліній (і утворених ними фігур) існує досить рівнянь, які не потребують додаткового описі, але лінія нескінченна. А багатокутники обмежені перетином ліній. Для них можна використовувати лінійні рівняння, об`єднані в систему, що задають прямі лінії. Але необхідно вказувати додаткові параметри, умови.

Для визначення багатокутників ж необхідно скласти таке рівняння, яке б описувати не лінію, а окремий довільний відрізок без втручання додаткових умов і описів.

[X / x_i ] * [X_i/ X] * y_i - ось це спеціальне рівняння для багатокутників.

Квадратні дужки в ньому вказують на умову виключення дробової частини числа, тобто ми повинні залишити тільки ціле число. y_i - функція, яка виконаються в діапазоні параметра від x до x_i.

Використовуючи це рівняння, можна вивести нові рівняння для обчислення відрізків і ліній, що складаються з декількох відрізків. Воно є базовим, універсальним для багатокутників.

Пам`ятаємо, що квадрат - це частина площини, тому його опис типу y = f (x) можна представити, найчастіше, тільки як багатозначну функцію, яку, в свою чергу, можна виразити через однозначні, якщо представляти їх параметрически, тобто залежними від будь-якого параметра t:

x = f (t), y = f (t).

Так от, якщо використовувати в сукупності універсальне рівняння і параметричне представлення, то дійсно можна вивести рівняння для вираження багатокутників:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * Cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Sin (L),

де

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P] - A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2] - A3 = [3 / [T / P] ] * [[T / P] / 3] - A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4] - A5 = TP * [T / P],

де P - діагональ прямокутника, L - кут нахилу до горизонталі діагоналі P, T - параметр змінюється в діапазоні від P до 5P.

Якщо L = 3,14 / 4, то рівняння буде описувати квадрати різної величини, залежно від розміру діагоналі P.

Застосування квадрата

У сучасному світі технології дозволяють надавати різним матеріалами квадратну форму, точніше квадратний перетин.

Це багато в чому вигідніше, дешевше, довговічніше і безпечніше. Так, зараз роблять квадратні труби, палі, дріт (проводу) і навіть квадратні нитки.

Основні переваги очевидні, вони виходять з елементарної геометрії. При однаковому розмірі площа вписаного кола менше площі квадрата, в який він вписаний, отже, пропускна здатність квадратної труби або енергоємність квадратного проводи будуть вище, ніж у круглих аналогів.

Найчастіше витратні матеріали квадратного перетину більш естетичні та зручні у використанні, монтажі, кріпленні.

При виборі цих матеріалів важливо правильно розрахувати перетин квадрата, щоб провід або труба витримали необхідне навантаження. У кожному окремому випадку, звичайно, будуть необхідні такі параметри, як сила струму або тиск, а й без основних геометричних правил квадрата тут не обійтися. Хоча розміри квадратних перетинів вже не стільки обчислюють, скільки вибирають по заданих параметрах з таблиць, встановлених ГОСТами для різних галузей.