Що таке дотична до кола? Властивості дотичної до кола. Загальна дотична до двох кіл

Січні, дотичні - все це сотні разів можна було чути на уроках геометрії. Але випуск зі школи позаду, проходять роки, і всі ці знання забуваються. Що слід згадати?

Сутність

Термін "дотична до кола" знаком, напевно, всім. Але навряд чи у всіх вийде швидко сформулювати його визначення. Тим часом дотичній називають таку пряму, лежачу в одній площині з окружністю, яка перетинає її тільки в одній точці. Їх може існувати величезна безліч, але всі вони мають однакові властивості, про які йтиметься нижче. Як неважко здогадатися, точкою дотику називають те місце, де коло і пряма перетинаються. У кожному конкретному випадку вона одна, якщо ж їх більше, то це буде вже січна.

Історія відкриття та вивчення

Поняття дотичній з`явилося ще в давнину. Побудова цих прямих спочатку до кола, а потім до еліпсах, параболам і гіпербол за допомогою лінійки і циркуля проводилося ще на початкових етапах розвитку геометрії. Зрозуміло, історія не зберегла ім`я першовідкривача, але очевидно, що ще в той час людям були цілком відомі властивості дотичної до кола.

У Новий час інтерес до цього явища розгорівся знову - почався новий виток вивчення цього поняття в поєднанні з відкриттям нових кривих. Так, Галілей ввів поняття циклоїди, а Ферма і Декарт побудували до неї дотичну. Що ж стосується кіл, здається, ще для древніх не залишилося секретів у цій галузі.

Властивості

Радіус, проведений в точку перетину, буде перпендикулярний прямій. Це основне, але не єдине властивість, яка має дотична до кола. Ще одна важлива особливість включає в себе вже дві прямі. Так, через одну точку, що лежить поза окружності, можна провести дві дотичні, при цьому їх відрізки будуть рівні. Є і ще одна теорема по цій темі, однак її рідко проходять в рамках стандартного шкільного курсу, хоча для вирішення деяких завдань вона вкрай зручна. Звучить вона таким чином. З однієї точки, розташованої поза кола, проведені дотична і січна до неї. Утворюються відрізки AB, AC і AD. А - перетин прямих, B точка дотику, C і D - перетину. У цьому випадку буде справедливим наступне рівність: довжина дотичної до кола, зведена в квадрат, буде дорівнює добутку відрізків AC і AD.

З вищесказаного є важливий наслідок. Для кожної точки кола можна побудувати дотичну, але при цьому тільки одну. Доказ цього достатньо просто: теоретично опустивши на неї перпендикуляр з радіуса, з`ясовуємо, що утворений трикутник існувати не може. І це значить, що дотична - єдина.

Побудова

Серед інших завдань з геометрії є особлива категорія, як правило, не користується любов`ю учнів та студентів. Для вирішення завдань з цієї категорії потрібні лише циркуль і лінійка. Це завдання на побудову. Є вони і на побудову дотичної.

Отже, дані окружність і точка, що лежить поза її межами. І необхідно провести через них дотичну. Як же це зробити? Насамперед, потрібно провести відрізок між центром кола О і заданої точкою. Потім за допомогою циркуля слід розділити його навпіл. Щоб це зробити, необхідно задати радіус - трохи більше половини відстані між центром початкової окружності і цією точкою. Після цього потрібно побудувати дві пересічні дуги. Причому радіус у циркуля міняти не треба, а центром кожної частини кола будуть початкова точка і Про відповідно. Місця пересічний дуг потрібно з`єднати, що розділить відрізок навпіл. Задати на циркулі радіус, рівний цього відстані. Далі з центром в точці перетину побудувати ще одну окружність. На ній буде лежати як початкова точка, так і О. При цьому буде ще два перетину з даної в задачі колом. Саме вони і будуть точками дотику для спочатку заданої точки.

Цікаве

Саме побудова дотичних до кола призвело до народження диференціального числення. Перша праця по цій темі був опублікований відомим німецьким математиком Лейбніцем. Він передбачав можливість знаходження максимумів, мінімумів і дотичних незалежно від дрібних і ірраціональних величин. Що ж, тепер воно використовується і для багатьох інших обчислень.

Крім того, дотична до кола пов`язана з геометричним змістом тангенса. Саме від цього і походить його назва. У перекладі з латині tangens - "дотична". Таким чином, це поняття пов`язано не тільки з геометрією і диференціальним численням, але і з тригонометрією.

Два кола

Не завжди дотична затрагівет лише одну фігуру. Якщо до однієї окружності можна провести безліч прямих, то чому ж не можна навпаки? Можна. Ось тільки завдання в цьому випадку серйозно ускладнюється, адже дотична до двох кіл може проходити не через будь-які точки, а взаємне розташування всіх цих фігур може бути дуже різним.

Типи і різновиди

Коли мова йде про двох кіл і однієї або декількох прямих, то навіть якщо відомо, що це дотичні, не відразу стає ясно, як всі ці фігури розташовані по відношенню один до одного. Виходячи з цього, розрізняють кілька різновидів. Так, окружності можуть мати одну або дві спільні точки або не мати їх зовсім. У першому випадку вони будуть перетинатися, а в другому - торкатися. І ось тут розрізняють два різновиди. Якщо одна окружність як би вкладена в другу, то торкання називають внутрішнім, якщо ні - то зовнішнім. Зрозуміти взаємне розташування фігур можна не тільки, виходячи з креслення, але і володіючи інформацією про суму їх радіусів і відстані між їх центрами. Якщо дві ці величини рівні, то окружності стосуються. Якщо перша більше - перетинаються, а якщо менше - то не мають спільних точок.

Так само і з прямими. Для будь-яких двох кіл, які не мають спільних точок, можна
побудувати чотири дотичні. Дві з них будуть перетинатися між фігурами, вони називаються внутрішніми. Пара інших - зовнішні.

Якщо мова йде про окружностях, які мають одну спільну точку, то завдання серйозно спрощується. Справа в тому, що при будь-якому взаємному розташуванні в цьому випадку дотична у них буде тільки одна. І проходити вона буде через точку їх перетину. Так що побудова труднощі не викличе.

Якщо ж фігури мають дві точки перетину, то для них може бути побудована пряма, дотична до кола як однієї, так і другої, але тільки зовнішня. Вирішення цієї проблеми аналогічно тому, що буде розглянуто далі.

Рішення задач

Як внутрішня, так і зовнішня дотична до двох кіл, у побудові не так вже прості, хоч ця проблема і вирішувана. Справа в тому, що для цього використовується допоміжна фігура, так що додуматися до такого способу самостійно досить проблематично. Отже, дано дві окружності з різним радіусом і центрами О1 і О2. Для них потрібно побудувати дві пари дотичних.

Перш за все, біля центру більшої окружності потрібно побудувати допоміжну. При цьому на циркулі повинна бути встановлена різниця між радіусами двох початкових фігур. З центру меншою окружності будуються дотичні до допоміжної. Після цього з О1 і О2 проводяться перепендікуляри до цих прямим до перетину з початковими фігурами. Як випливає з основного властивості дотичній, шукані точки на обох окружностях знайдені. Задача вирішена, принаймні, її перша частина.

Для того щоб побудувати внутрішні дотичні, доведеться вирішити практично аналогічне завдання. Знову знадобиться допоміжна фігура, проте цього разу її радіус буде дорівнює сумі початкових. До неї будуються дотичні з центру однієї з даних кіл. Подальший хід рішення можна зрозуміти з попереднього прикладу.

Дотична до кола або навіть двом і більше - не така вже складна задача. Звичайно, математики давно перестали вирішувати подібні проблеми вручну і довіряють обчислення спеціальними програмами. Але не варто думати, що тепер необов`язково вміти робити це самостійно, адже для правильного формулювання завдання для комп`ютера потрібно багато чого зробити і зрозуміти. На жаль, є побоювання, що після остаточного переходу на тестову форму контролю знань задачі на побудову будуть викликати в учнів все більше труднощів.

Що ж стосується знаходження спільних дотичних для більшої кількості кіл, це не завжди можливо, навіть якщо вони лежать в одній площині. Але в деяких випадках можна знайти таку пряму.

Приклади з життя

Загальна дотична до двох кіл нерідко зустрічається і на практиці, хоч це і не завжди помітно. Конвеєри, блокові системи, передавальні ремені шківів, натяг нитки в швейній машинці, та навіть просто велосипедна ланцюг - все це приклади з життя. Так що не варто думати, що геометричні задачі залишаються лише в теорії: в інженерній справі, фізики, будівництві та багатьох інших областях вони знаходять практичне застосування.